Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gram–Schmidts ortogonaliseringsprossess er ein algoritme for å generera ein ortonormalisert basis (ortogonal basis med norm 1) frå ei gjeven mengde vektorar knytte til eit indreproduktrom med eit gjeve skalarprodukt
.
Metoden vart oppkalla etter Erhard Schmidt og Jørgen Pedersen Gram, sjølv om han tidlegare vart teken i bruk i verka til Laplace og Cauchy.
Han vert nytta i dei høva ein ønskjer ein ortonormal/ortogonal basis. Å finna QR-faktoriseringa av ei matrise er i røynda Gram-Schmidts ortogonaliseringsprossess.
Algoritmen er basert på definisjonen av projeksjonar. Ein projeksjon er definert som;
La
vera resulatet av algoritmen, altså den ortonormale basisen. La
vera vektorane det skal konstruerast ein ortonormal basis av. Ein let
og normaliserer vektoren. Vidare vert vektoren
projektert på vektoren
. Ut i frå dette vert
vektoren som står ortogonalt på denne projeksjonen, altså
. Vidare vert
projektert på flata utspend av
og
. Vektoren som står ortogonalt på denne flata er
. Med andre ord så vert
. Slik held algoritmen fram til ein har konstruert ein ortonormal basis.
Heile algoritmen kan oppsummerast stegvis som
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
For kvart steg vert vektoren
normalisert.