Równanie diofantyczne
Równanie diofantyczne – równanie postaci:
gdzie jest -argumentową funkcją i którego rozwiązania szuka się w dziedzinie liczb całkowitych lub rzadziej wymiernych[1]. Jeżeli jest wielomianem ze współczynnikami całkowitymi, to takie równanie nazywamy algebraicznym równaniem diofantycznym[2] .
Przykłady równań diofantycznych
[edytuj | edytuj kod]- Równanie dla równanie to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym (zobacz: trójki pitagorejskie). Dla równanie to nie ma rozwiązań – jest to treść wielkiego twierdzenia Fermata.
- Równanie ( są dane) jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb i dzieli
- Równanie ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3).
- Równanie ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy oraz
- Równanie zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella; sam Pell nie zajmował się takimi równaniami) – jeżeli jest kwadratem liczby naturalnej, to równanie nie ma rozwiązań, jeżeli zaś nie jest, ma ich ono nieskończenie wiele. Rozwiązania te tablicuje się w zależności od
- Równanie jest warunkiem istnienia tzw. pętli pierwszego stopnia w ciągu Collatza-Ulama. Ma ono tylko jedno rozwiązanie dla oraz które odpowiada występowaniu pętli trywialnej w tym ciągu.
Typowe problemy
[edytuj | edytuj kod]Badając dane równanie diofantyczne, staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania[2] :
- Czy ma ono rozwiązania?
- Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?
- Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?
W przypadku wielu prostych równań te i inne pytania pozostawały bez odpowiedzi przez długie lata, a próby znalezienia ich częstokroć prowadziły do głębokich badań i rozwoju nowych teorii matematycznych. Klasycznym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata, które pozostawało bez dowodu przez blisko 350 lat.
Ogólna charakterystyka
[edytuj | edytuj kod]Jednym z podstawowych problemów teorii równań diofantycznych jest znalezienie efektywnych sposobów wyznaczenia rozwiązań danego równania. Okazało się, że nie istnieje algorytm, który w każdym przypadku prowadziłby do rozwiązania równania diofantycznego. Znane są tylko algorytmy rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych wielu zmiennych oraz pewnych szczególnych przypadków równań wyższych stopni.
Często nie potrafimy odpowiedzieć na podstawowe pytania: czy dane równanie diofantyczne ma choć jedno rozwiązanie, czy liczba tych rozwiązań jest skończona, czy jest ich nieskończenie wiele?
Stale używanym narzędziem teorii równań diofantycznych (i w ogóle w teorii liczb) jest stworzona przez Gaussa teoria kongruencji. Kongruencja to przystawanie liczb „modulo ”: liczby i przystają modulo jeżeli ich różnica dzieli się bez reszty przez co zapisuje się:
Klasycznym przykładem równania diofantycznego, rozwiązanego przez samego Diofantosa (to od jego nazwiska ukuto nazwę tego działu matematyki; Diofantosa interesowały rozwiązania w liczbach wymiernych, a nie naturalnych), jest problem trójkątów pitagorejskich. Szukamy rozwiązań w liczbach naturalnych równania: Przykładowe rozwiązania to następujące trójki pitagorejskie: (3, 4, 5), (5, 12, 13),... Rozwiązania niebędące wielokrotnościami innych rozwiązań to tzw. „rozwiązania właściwe” lub trójkąty pitagorejskie, właściwe. Nieskończoną serię takich rozwiązań uzyskała już szkoła Pitagorasa.
Wszystkie rozwiązania właściwe równania Pitagorasa w liczbach naturalnych można uzyskać ze wzorów podanych przez Diofantosa: gdzie to liczby naturalne, przy czym Jeśli i są względnie pierwsze, o różnej parzystości, to uzyskuje się rozwiązania właściwe. W ten sposób można uzyskać wszystkie rozwiązania właściwe.
Liczby zespolone pozwalają określić trójkąt pitagorejski jako gdzie jest liczbą zespoloną, o całkowitej części rzeczywistej i urojonej, i o całkowitym module
Istnieje też geometryczna konstrukcja Vogelera umożliwiająca znajdowanie trójkątów pitagorejskich, ale nie ma znaczenia praktycznego. Sposób Vogelera pozwala również skonstruować wszystkie ułamki pitagorejskie: każda znaleziona trójka pitagorejska generuje trzy następne.
Metody rozwiązywania
[edytuj | edytuj kod]Podstawowe metody
[edytuj | edytuj kod]Metoda dekompozycji
[edytuj | edytuj kod]Polega na przekształceniu równania z postaci[3]:
do postaci:
gdzie i
Następnie liczbę rozkładamy na czynników pierwszych. Każdy taki rozkład daje układ równań postaci:
Suma zbioru rozwiązań tych układów daje zbiór rozwiązań równania
Przykład
[edytuj | edytuj kod]Rozważmy równanie:
I przekształćmy je w następujący sposób:
Odpowiada to dwóm możliwościom:
co daje rozwiązanie: lub
Rozwiązania z wykorzystaniem nierówności
[edytuj | edytuj kod]Metoda polega na ograniczeniu przestrzeni potencjalnych rozwiązań równania do skończonego zbioru[4].
Przykład
[edytuj | edytuj kod]Szukamy wszystkich par liczb całkowitych spełniających równanie:
Po pierwsze, rozwiązaniem powyższego równania są wszystkie pary postaci Teraz rozważmy takie rozwiązania, że wtedy równanie możemy podzielić obustronnie przez
i przekształcić do postaci:
Z tego wynikają nierówności i ograniczające położenie niewiadomych do przedziału Ponieważ rozpatrujemy rozwiązania w dziedzinie liczb całkowitych, daje to dziewięć potencjalnych rozwiązań. Poprzez sprawdzenie każdej możliwości z osobna możemy pokazać, że rozwiązaniami są pary:
Metoda parametryczna
[edytuj | edytuj kod]W niektórych przypadkach zbiór rozwiązań równania można opisać jako:
gdzie są -argumentowymi funkcjami o wartościach całkowitych i Metoda parametryczna jest często wykorzystywana w sytuacjach, gdy nie jest możliwe pokazanie explicite wszystkich rozwiązań równania, ponieważ jest ich nieskończenie wiele[5].
Przykład
[edytuj | edytuj kod]Określić w podanej wyżej postaci nieskończenie wiele rozwiązań poniższego równania:
Rozważmy podzbiór rozwiązań takiej postaci, że w ten sposób otrzymujemy równanie:
Biorąc i powyższe równanie jest spełnione. W ten sposób otrzymujemy rodzinę rozwiązań w postaci:
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Równanie diofantyczne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-24] .
- ↑ a b Andreescu, Andrica i Cucurezeanu 2010 ↓.
- ↑ Andreescu, Andrica i Cucurezeanu 2010 ↓, s. 3.
- ↑ Andreescu, Andrica i Cucurezeanu 2010 ↓, s. 13.
- ↑ Andreescu, Andrica i Cucurezeanu 2010 ↓, s. 20.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations. A Problem-Based Approach. Birkhäuser, 2010. ISBN 978-0-8176-4548-9.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]Jonathan Pila, D is for Diophantine Equations (ang.), Oxford University Mathematical Institute, maths.ox.ac.uk, 7 czerwca 2022 [dostęp 2023-05-29].
- Eric W. Weisstein , Diophantine Equation, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-02].
Diophantine equations, solvability problem of (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].