Biegunowa

Biegunowa punktu P względem okręgu o o środku O≠P – prosta przechodząca przez obraz punktu P przy inwersji względem o i prostopadła do OP.

Konstrukcja

1. Konstrukcja punktu inwersyjnego do P.
2. Konstrukcja prostej prostopadłej do OP przechodzącej przez ten punkt.

Wzajemność biegunowych

Wzajemność biegunowych

Jeśli punkt A leży na biegunowej B względem o, to B leży na biegunowej A względem o.

Dowód

Spełnione są zależności:

${\frac {OA}{r}}={\frac {r}{OA'}}$

${\frac {OB}{r}}={\frac {r}{OB'}}$

Dzieląc stronami uzyskujemy:

${\frac {OA}{OB}}={\frac {OB'}{OA'}}$

a zatem (ze względu na wspólność kąta AOB) trójkąty OAB' i OBA' są podobne (bok, kąt, bok), więc kąt OB'A jest prosty i odcinek B'A zawiera się w biegunowej B.