Przestrzeń T4
Przestrzeń normalna i przestrzeń T4 to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania.
Mówi się, że w przestrzeni topologicznej rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte jeśli dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych można znaleźć takie rozłączne zbiory otwarte że
- i
Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się, że zbiory domknięte są rozdzielone przez otoczenia otwarte
Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią normalną (albo ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią T1 w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte.
Dyskusja nazewnictwa
[edytuj | edytuj kod]Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń normalna i przestrzeń T4 w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii[1] definiuje
- przestrzeń normalną jako przestrzeń topologiczną w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte i nie wprowadza on pojęcia przestrzeni T4.
Z drugiej strony Engelking definiuje[2]
- bycie przestrzenią normalną i bycie przestrzenią T4 jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni normalnej).
Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami normalnymi: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
- Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.
- Każda regularna przestrzeń Lindelöfa jest normalna.
- Płaszczyzna Niemyckiego jest przykładem przestrzeni Tichonowa, która nie jest normalna.
- Jeśli CH jest prawdziwa i to
- nie jest przestrzenią normalną (ale jest całkowicie regularna). W tym przykładzie jest uzwarceniem Čecha-Stone’a dyskretnej przestrzeni liczb naturalnych.
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Każda przestrzeń normalna jest przestrzenią Tichonowa. Zachodzi nawet mocniejszy lemat Urysohna:
- Jeśli jest przestrzenią normalną i są jej rozłącznymi podzbiorami domkniętymi, to istnieje taka funkcja ciągła
- że dla oraz dla
- Zachodzi również następujące twierdzenie Tietzego-Urysohna:
- Jeśli jest przestrzenią normalną, jest jej podzbiorem domkniętym i
- jest funkcją ciągłą, to istnieje funkcja ciągła
- przedłużająca (tzn. dla wszystkich ).
- Żadna ośrodkowa przestrzeń normalna nie zawiera domkniętej dyskretnej podprzestrzeni mocy continuum.
- Domknięte podprzestrzenie przestrzeni normalnej są normalne. Obraz przestrzeni normalnej przez (ciągłe) odwzorowanie domknięte jest przestrzenią normalną.
- Podprzestrzeń przestrzeni normalnej nie musi być normalna (czyli własność być przestrzenią normalną nie jest własnością dziedziczną). Także iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni nie musi być przestrzenią
- Twierdzenie Borsuka o przedłużaniu homotopii.
Produkty przestrzeni normalnych
[edytuj | edytuj kod]- Zobacz też:
Prosta Sorgenfreya jest przestrzenią normalną, ale jej kwadrat nie jest normalny. A.H. Stone udowodnił, że iloczyn kartezjański nieprzeliczalnie wielu niezwartych przestrzeni metrycznych nie jest przestrzenią normalną[3]. Założenia metryczności nie można pominąć, gdyż produkt jest przestrzenią normalną.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ K. Kuratowski, Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 121.
- ↑ R. Engelking, General Topology, Helderman, Berlin 1989, s. 40, ISBN 3-88538-006-4.
- ↑ A.H. Stone , Paracompactness and product spaces, „Bull. Amer. Math. Soc.”, 54, 1948, s. 977–982 [zarchiwizowane z adresu 2015-09-26] .