Momento de inércia de área

O momento de inércia de área, também chamado de segundo momento de área ou segundo momento de inércia, é uma propriedade geométrica da seção transversal de elementos estruturais. Fisicamente o segundo momento de inércia está relacionado com as tensões e deformações que aparecem por flexão em um elemento estrutural e, portanto, junto com as propriedades do material determina a rigidez de um elemento estrutural sob flexão. Basicamente os associamos a forças aplicadas na área que variam linearmente com a distância, invertendo sua direção em dado eixo.

Definição

Na imagem, temos representado o plano cartesiano e o diferencial de área dA (pequena porção da área total). Note que a distância do eixo x ao diferencial de área é y e vice-versa.

Definimos matematicamente o momento de inércia de área pela integral do produto dos elementos de área de uma figura plana pelo quadrado de suas distâncias a um eixo, ou seja, dividimos a área em questão em partes pequenas e fazemos um somatório dessas áreas multiplicadas pelo quadrado de suas distâncias ao eixo em questão.

$I_{x}=\int y^{2}dA$

$I_{y}=\int x^{2}dA$

Normalmente aparece nas tabelas de seções em $mm^{4}\;$ ou $cm^{4}\;$.

Por depender do quadrado das distâncias ao eixo é um valor sempre positivo, e depende da distância e da direção do eixo em relação à figura. Pode lembrar o momento de inércia de massa, mas aqui o significado físico é bem diferente, essa é uma confusão comum, uma vez que existem vários conceitos diferentes que chamamos momento.

Aplicação ^{[carece de fontes]}

O momento de inércia de área da seção transversal de uma viga, em relação a um eixo que passe pelo seu centro de gravidade, mede a sua rigidez, ou seja a sua resistência à flexão em relação a esse eixo.

Por exemplo, aplicando a fórmula acima para uma seção retangular de lados $a\$ e $b\$, com o eixo passando pelo seu centro, e paralelo ao lado $a\$ temos:

$I=\int _{-a \over 2}^{a \over 2}(\int _{-b \over 2}^{b \over 2}y^{2}.dy)dx$ $={a.b^{3} \over 12}$

Aumentar o lado $b\$ da seção da viga, devido ao expoente cúbico, resulta num aumento bem maior de $I\$ comparado com aumentar o lado $a\$. Dobrar uma tábua em relação à sua espessura é fácil, mas não em relação à sua largura.

A deformação elástica deve ser proporcional à tensão aplicada. Quando uma viga é fletida, aumenta seu comprimento no lado convexo, enquanto diminui o de seu lado côncavo. Proporcionalmente a essas alterações, existem tensões de tração onde o comprimento aumenta e de compressão onde ele diminui. Uma fibra situada no centro da viga permanece com o mesmo comprimento, portanto não há tensão nessa região. À medida que aumenta a distância em relação ao centro, também aumenta a diferença entre o comprimento original (o mesmo da região central) e o atual, sob carga. O esforço de dobramento chama-se momento fletor ($M\$). Para determinar as tensões usa-se o momento de inércia de área:

$\sigma ={M.r \over I}$

Para $r\$ em milímetros, o momento de inércia em $mm^{4}\$, e o momento fletor em $kgf.mm\$, a tensão será calculada em ${kgf \over mm^{2}\ }$.

A tensão é máxima na fibra mais afastada do centro, onde $r\$, a distância ao centro também é máxima. Será um valor positivo (tração) no lado convexo e negativo (compressão) no lado côncavo. A tensão de tração particularmente é crítica, pois deve estar abaixo do limite de resistência do material para evitar seu rompimento. Percebe-se pela fórmula que a chave para diminuir as tensões nas vigas é aumentar seu momento de inércia de área.

Ver também

• Teorema de Steiner
• Análise estrutural
• Engenharia estrutural
• Mecânica

Referências