Истинная аномалия
Истинная аномалия в небесной механике — угловой параметр, определяющий положение тела, движущегося по Кеплеровой орбите. Это угол между направлениями на перицентр и текущее положение тела, измеряемый из фокуса эллипса (точки, вокруг которой движется тело).
Истинная аномалия обычно обозначается греческими буквами ν или θ или латинской буквой f и обычно ограничивается до диапазона 0–360° (0–2π радиан).
Истинная аномалия f — один из трёх угловых параметров (аномалий), определяющих положение тела на орбите. Другие два — эксцентрическая аномалия и средняя аномалия.
Формулы
Через векторы состояния
Для эллиптических орбит истинная аномалия ν может быть вычислена через орбитальные векторы состояния как:
-
- (если r ⋅ v < 0, следует заменить ν на 2π − ν)
где:
- v — вектор орбитальной скорости тела,
- e — вектор эксцентриситета,
- r — радиус-вектор тела (отрезок FP на рисунке).
Круговая орбита
Для круговых орбит истиная аномалия не определена, потому что у круговой орбиты нет однозначно определённого перицентра. Вместо этого используют аргумент широты u:
-
- (если rz < 0, следует заменить u на 2π − u)
где:
- n — вектор, направленный на восходящий узел (т. е. его z-компонента n равна нулю).
- rz — z-компонента радиус-вектора r
Круговая орбита с нулевым наклонением
Для круговых орбит с нулевым наклонением аргумент широты также не определён, поскольку нет однозначно определённой линии узлов. Вместо этого используют истинную долготу:
-
- (если vx > 0, следует заменить l на 2π − l)
где:
- rx — x-компонента радиус-вектора r
- vx — x-компонента вектора скорости v.
Через эксцентрическую аномалию
Связь между истинной аномалией ν и эксцентрической аномалией :
или, используя синус[1] и тангенс:
что эквивалентно:
- ,
то есть
- .
В качестве альтернативы была получена[2] форма этого уравнения, позволяющая избежать проблем при аргументах, близких к , когда оба тангенса стремятся к бесконечности. К тому же, поскольку и всегда лежат в одном квадранте, не будет никаких проблем со знаками.
- , ге ,
следовательно,
- .
Через среднюю аномалию
Истинная аномалия может быть вычислена напрямую из средней аномалии с помощью ряда Фурье:[3]
с функцией Бесселя и параметром .
Опуская все члены порядка и выше (на это указывает ), это можно записать как[3][4][5]
Из соображений точности это приближение обычно ограничивается орбитами, где эксцентриситет мал.
Выражение называется уравнением центра.
Расстояние через истинную аномалию
Расстояние между фокусом и телом связано с истинной аномалией формулой
- ,
где a — большая полуось орбиты.
См. также
Примечания
- ↑ Fundamentals of Astrodynamics and Applications by David A. Vallado
- ↑ Broucke, R.; Cefola, P. (1973). "A Note on the Relations between True and Eccentric Anomalies in the Two-Body Problem". Celestial Mechanics. 7 (3): 388—389. Bibcode:1973CeMec...7..388B. doi:10.1007/BF01227859. ISSN 0008-8714. S2CID 122878026.
- ↑ 1 2 Battin, R.H. An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. — American Institute of Aeronautics & Astronautics, 1999. — P. 212 (Eq. (5.32)). — ISBN 978-1-60086-026-3.
- ↑ Smart, W. M. Textbook on Spherical Astronomy. — 1977. — P. 120 (Eq. (87)).
- ↑ Roy, A.E. Orbital Motion. — 4. — Bristol, UK; Philadelphia, PA : Institute of Physics (IoP), 2005. — P. 78 (Eq. (4.65)). — ISBN 0750310154.
Литература
- Murray, C. D. & Dermott, S. F., 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-57597-4
- Plummer, H. C., 1960, An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, New York. OCLC 1311887 (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition.)