Многочлен
В математике, многочлены или полиномы от одной переменной - функции вида
где фиксированные коэффициенты, а — переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций.
Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».
С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.
Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (смотри аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.
Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.
Определение
Многочлен (или полином) от n переменных — есть конечная формальная сумма вида
- ,
где есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.
В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида
Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом без делителей нуля) которое обозначается
Связанные определения
- Многочлен вида называется одночленом или мономом
- Одночлен, соответствующий мультииндексу называется свободным членом.
- В случае, когда многочлен имеет всего два ненулевых члена, его называют двучленом или биномом,
- В случае, когда многочлен имеет всего три ненулевых члена, его называют трёхчленом.
- Полной степенью (ненулевого) одночлена называется целое число .
- Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени
- Множество мультииндексов для которых коэффициенты ненулевые называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка многогранником Ньютона.
Делимость
Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение делится на неприводимый многочлен , то p или q делится на . Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).
Например, многочлен 2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.
Вообще, каждый многочлен от одного переменного разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).
Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого существуют многочлен от переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.
Полиномиальные функции
Пусть есть алгебра над кольцом . Произвольный многочлен определяет полиномиальную функцию
- .
Чаще всего рассматривают случай .
В случае если есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов) то функция полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены и из определяют тождественно равные функции .
Свойства
- Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
- Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.
- Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, т. е. любой его идеал может быть порожден одним элементом.
- Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.
Вариации и обобщения
- Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется многочленом Лорана (см. ряд Лорана).
- Квазимногочлен
- Тригонометрический многочлен
См. также
- Бином
- Корень многочлена
- Неприводимый многочлен
- Однородный многочлен
- Ортогональные многочлены
- Многогранник Ньютона
- Многочлен Лагранжа
- Многочлен Тейлора
- Многочлен Гильберта
- Многочлен Эрхарта
- Многочлен Чебышёва
- Многочлен Эрмита
- Симметрический многочлен
- Базис Гребнера
- Сплайн
- Характеристический многочлен
- Теорема Гаусса — Лукаса
- Упорядочивание одночленов