Неравенство Бернулли: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
отмена правки 115053291 участника 91.228.178.74 (обс.) Метка: отмена |
Maxal (обсуждение | вклад) →Замечания: оформление Метка: редактор вики-текста 2017 |
||
Строка 28: | Строка 28: | ||
== Замечания == |
== Замечания == |
||
* Неравенство также справедливо для <math>x\geqslant -2</math> (при <math>n\in\mathbb{N}_0</math>), если исключить случай, когда получается [[ноль в степени ноль]]. Доказательство для случая <math>x\in\left[-2,-1\right)</math> можно провести тем же методом математической индукции |
* Неравенство также справедливо для <math>x\geqslant -2</math> (при <math>n\in\mathbb{N}_0</math>), если исключить случай, когда получается [[ноль в степени ноль]]. Доказательство для случая <math>x\in\left[-2,-1\right)</math> можно провести тем же методом математической индукции: |
||
<math>(1+x)^{n+1} + (1+x)^n = (1+x)^n(1+x+1) \geqslant (1+nx)(1+x+1) = 1+(n+1)x+1+nx(1+x)</math> |
: <math>(1+x)^{n+1} + (1+x)^n = (1+x)^n(1+x+1) \geqslant (1+nx)(1+x+1) = 1+(n+1)x+1+nx(1+x).</math> |
||
Так как при <math>x\in\left[-2,-1\right)</math> <math>(1+x)^n \leqslant 1 \leqslant 1+nx(1+x)</math>, то <math>(1+x)^{n+1} \geqslant 1+(n+1)x</math> |
Так как при <math>x\in\left[-2,-1\right)</math> выполняется <math>(1+x)^n \leqslant 1 \leqslant 1+nx(1+x)</math>, то <math>(1+x)^{n+1} \geqslant 1+(n+1)x</math>. |
||
== Примечания == |
== Примечания == |
Версия от 15:08, 2 ноября 2022
Нера́венство Берну́лли утверждает[1]: если , то
- для всех натуральных
Доказательство
Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n. При n = 1 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:
- ,
Обобщенное неравенство Бернулли
Обобщенное неравенство Бернулли утверждает[1], что при и :
- если , то
- если , то
- при этом равенство достигается в двух случаях:
Доказательство
Рассмотрим , причем .
Производная при , поскольку .
Функция дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки . Поэтому . Получаем:
- ⇒ при
- ⇒ при
Значение функции , следовательно, справедливы следующие утверждения:
- если , то
- если , то
Несложно заметить, что при соответствующих значениях или функция . При этом в конечном неравенстве исчезают ограничения на , заданные в начале доказательства, поскольку для них исполняется равенство. ■
Замечания
- Неравенство также справедливо для (при ), если исключить случай, когда получается ноль в степени ноль. Доказательство для случая можно провести тем же методом математической индукции:
Так как при выполняется , то .
Примечания
- ↑ 1 2 Бронштейн, Семендяев, 1985, с. 212.
Литература
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — 544 с.