Нера́венство Берну́лли утверждает[1]: если , то
- для всех натуральных
Доказательство
Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n.
При n = 1 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:
- ,
ч.т.д.
Обобщенное неравенство Бернулли
Обобщенное неравенство Бернулли утверждает[1], что при и :
- если , то
- если , то
- при этом равенство достигается в двух случаях:
Рассмотрим , причем .
Производная при , поскольку .
Функция дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки . Поэтому . Получаем:
- ⇒ при
- ⇒ при
Значение функции , следовательно, справедливы следующие утверждения:
- если , то
- если , то
Несложно заметить, что при соответствующих значениях или функция . При этом в конечном неравенстве исчезают ограничения на , заданные в начале доказательства, поскольку для них исполняется равенство.
■
Замечания
- Неравенство также справедливо для (при ), если исключить случай, когда получается ноль в степени ноль. Доказательство для случая можно провести тем же методом математической индукции:
Так как при выполняется , то .
Примечания
Литература