Норма матрицы — норма в линейном пространстве матриц, как правило некоторым образом связанная с соответствующей векторной нормой (согласованная[⇨] или подчиненная[⇨] ).
Определение
Пусть K — основное поле (обычно K = R или K = C ) и
K
m
×
n
{\displaystyle K^{m\times n}}
— линейное пространство всех матриц с m строками и n столбцами, состоящих из элементов K .
На пространстве матриц задана норма, если каждой матрице
A
∈
K
m
×
n
{\displaystyle A\in K^{m\times n}}
ставится в соответствие неотрицательное действительное число
‖
A
‖
{\displaystyle \|A\|}
, называемое ее нормой, так, что
‖
A
‖
>
0
{\displaystyle \|A\|>0}
, если
A
≠
0
{\displaystyle A\neq 0}
, и
‖
A
‖
=
0
{\displaystyle \|A\|=0}
, если
A
=
0
{\displaystyle A=0}
.
‖
A
+
B
‖
≤
‖
A
‖
+
‖
B
‖
,
A
,
B
∈
K
m
×
n
{\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|,\quad A,B\in K^{m\times n}}
.
‖
α
A
‖
=
|
α
|
‖
A
‖
,
α
∈
K
,
A
∈
K
m
×
n
{\displaystyle \|\alpha A\|=|\alpha |\|A\|,\quad \alpha \in K,\quad A\in K^{m\times n}}
[1] .
В случае квадратных матриц (то есть m = n ), матрицы можно перемножать не выходя из пространства, и потому нормы в этих пространствах обычно также удовлетворяют свойству субмультипликативности :
‖
A
B
‖
≤
‖
A
‖
‖
B
‖
{\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|}
для всех матриц A и B в
K
n
×
n
{\displaystyle K^{n\times n}}
.
Субмультипликативность может выполняться также и для норм неквадратных матриц, но определённых сразу для нескольких нужных размеров. Именно, если A — матрица ℓ × m , и B — матрица m × n , то A B — матрица ℓ × n .
Операторные нормы
Важным классом матричных норм являются операторные нормы , также именуемые подчинёнными или индуцированными . Операторная норма однозначно строится по двум нормам, определённым в
K
n
{\displaystyle K^{n}}
и
K
m
{\displaystyle K^{m}}
, исходя из того, что всякая матрица m × n представляется линейным оператором из
K
n
{\displaystyle K^{n}}
в
K
m
{\displaystyle K^{m}}
. Конкретно,
‖
A
‖
=
sup
{
‖
A
x
‖
:
x
∈
K
n
,
‖
x
‖
=
1
}
=
sup
{
‖
A
x
‖
‖
x
‖
:
x
∈
K
n
,
x
≠
0
}
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\|A\|&=\sup\{\|Ax\|:x\in K^{n},\ \|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n},\ x\neq 0\right\}.\end{aligned}}}
[2]
При условии согласованного задания норм на пространствах векторов, такая норма является субмультипликативной (см. выше ).
Примеры операторных норм
Матричная норма
‖
A
‖
1
=
max
1
≤
j
≤
n
∑
j
=
1
m
|
a
i
j
|
{\displaystyle \|A\|_{1}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{j=1}^{m}|a_{ij}|}
, подчинённая векторной норме
‖
x
‖
1
=
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
{\displaystyle \|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}
.
Матричная норма
‖
A
‖
∞
=
max
1
≤
i
≤
m
∑
j
=
1
n
|
a
i
j
|
{\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|}
, подчинённая векторной норме
‖
x
‖
∞
=
max
1
≤
i
≤
n
|
x
i
|
{\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq n}|x_{i}|}
.
Спектральная норма
‖
A
‖
2
=
sup
‖
x
‖
2
=
1
‖
A
x
‖
2
=
sup
(
x
,
x
)
=
1
(
A
x
,
A
x
)
{\displaystyle \|A\|_{2}=\sup \limits _{\|x\|_{2}=1}\|Ax\|_{2}=\sup \limits _{(x,x)=1}{\sqrt {(Ax,Ax)}}}
, подчиненная векторной норме
‖
x
‖
2
=
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
2
{\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}
.
Свойства спектральной нормы:
Спектральная норма оператора равна максимальному сингулярному числу этого оператора.
Спектральная норма нормального оператора равна абсолютному значению максимального по модулю собственного значения этого оператора.
Спектральная норма не изменяется при умножении матрицы на ортогональную (унитарную ) матрицу.
Примеры норм
Векторная
p
{\displaystyle p}
-норма
Можно рассматривать
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
матрицу как вектор размера
m
n
{\displaystyle mn}
и использовать стандартные векторные нормы:
‖
A
‖
p
=
‖
v
e
c
(
A
)
‖
p
=
(
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
|
a
i
j
|
p
)
1
/
p
{\displaystyle \|A\|_{p}=\|\mathrm {vec} (A)\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}}
Норма Фробениуса
Норма Фробениуса , или евклидова норма представляет собой частный случай p -нормы для p = 2 :
‖
A
‖
F
=
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
a
i
j
2
{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}^{2}}}}
.
Норма Фробениуса легко вычисляется (по сравнению, например, со спектральной нормой). Обладает следующими свойствами:
‖
A
x
‖
2
2
=
∑
i
=
1
m
|
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
j
|
2
≤
∑
i
=
1
m
(
∑
j
=
1
n
|
a
i
j
|
2
∑
j
=
1
n
|
x
j
|
2
)
=
∑
j
=
1
n
|
x
j
|
2
‖
A
‖
F
2
=
‖
A
‖
F
2
‖
x
‖
2
2
.
{\displaystyle \|Ax\|_{2}^{2}=\sum _{i=1}^{m}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right|^{2}\leq \sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}\sum _{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\right)=\sum _{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\|A\|_{F}^{2}=\|A\|_{F}^{2}\|x\|_{2}^{2}.}
Субмультипликативность :
‖
A
B
‖
F
≤
‖
A
‖
F
‖
B
‖
F
{\displaystyle \|AB\|_{F}\leq \|A\|_{F}\|B\|_{F}}
, так как
‖
A
B
‖
F
2
=
∑
i
,
j
|
∑
k
a
i
k
b
k
j
|
2
≤
∑
i
,
j
(
∑
k
|
a
i
k
|
|
b
k
j
|
)
2
≤
∑
i
,
j
(
∑
k
|
a
i
k
|
2
∑
k
|
b
k
j
|
2
)
=
∑
i
,
k
|
a
i
k
|
2
∑
k
,
j
|
b
k
j
|
2
=
‖
A
‖
F
2
‖
B
‖
F
2
{\displaystyle \|AB\|_{F}^{2}=\sum _{i,j}\left|\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\right|^{2}\leq \sum _{i,j}\left(\sum _{k}|a_{ik}||b_{kj}|\right)^{2}\leq \sum _{i,j}\left(\sum _{k}|a_{ik}|^{2}\sum _{k}|b_{kj}|^{2}\right)=\sum _{i,k}|a_{ik}|^{2}\sum _{k,j}|b_{kj}|^{2}=\|A\|_{F}^{2}\|B\|_{F}^{2}}
.
‖
A
‖
F
2
=
t
r
A
∗
A
=
t
r
A
A
∗
{\displaystyle \|A\|_{F}^{2}=\mathop {\rm {tr}} A^{*}A=\mathop {\rm {tr}} AA^{*}}
, где
t
r
A
{\displaystyle \mathop {\rm {tr}} A}
— след матрицы
A
{\displaystyle A}
,
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
— эрмитово-сопряжённая матрица .
‖
A
‖
F
2
=
ρ
1
2
+
ρ
2
2
+
⋯
+
ρ
n
2
{\displaystyle \|A\|_{F}^{2}=\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2}+\dots +\rho _{n}^{2}}
, где
ρ
1
,
ρ
2
,
…
,
ρ
n
{\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}}
— сингулярные числа матрицы
A
{\displaystyle A}
.
‖
A
‖
F
≥
‖
A
‖
2
{\displaystyle \|A\|_{F}\geq \|A\|_{2}}
.
‖
A
‖
F
{\displaystyle \|A\|_{F}}
не изменяется при умножении матрицы
A
{\displaystyle A}
слева или справа на ортогональные (унитарные ) матрицы[3] .
Максимум модуля
Норма максимума модуля — другой частный случай p -нормы для p = ∞ .
‖
A
‖
max
=
max
{
|
a
i
j
|
}
.
{\displaystyle \|A\|_{\text{max}}=\max\{|a_{ij}|\}.}
Норма Шаттена
Этот раздел статьи
ещё не написан .
Здесь может располагаться раздел, посвящённый перевести en:Schatten norm . Помогите Википедии, написав его.
Согласованность матричной и векторных норм
Матричная норма
‖
⋅
‖
a
b
{\displaystyle \|\cdot \|_{ab}}
на
K
m
×
n
{\displaystyle K^{m\times n}}
называется согласованной с нормами
‖
⋅
‖
a
{\displaystyle \|\cdot \|_{a}}
на
K
n
{\displaystyle K^{n}}
и
‖
⋅
‖
b
{\displaystyle \|\cdot \|_{b}}
на
K
m
{\displaystyle K^{m}}
, если:
‖
A
x
‖
b
≤
‖
A
‖
a
b
‖
x
‖
a
{\displaystyle \|Ax\|_{b}\leq \|A\|_{ab}\|x\|_{a}}
для любых
A
∈
K
m
×
n
,
x
∈
K
n
{\displaystyle A\in K^{m\times n},x\in K^{n}}
. Операторная норма по построению является согласованной с исходной векторной нормой.
Примеры согласованных, но не подчиненных матричных норм:
Евклидова норма
‖
A
‖
F
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
m
a
i
j
2
{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{ij}^{2}}}}
согласована с векторной нормой
‖
x
‖
2
=
∑
i
=
1
n
x
i
2
{\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}
[3] .
Норма
‖
A
‖
=
∑
i
,
j
=
1
n
|
a
i
j
|
{\displaystyle \|A\|=\sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|}
согласована с векторной нормой
‖
x
‖
1
=
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
{\displaystyle \|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}
[4] .
Эквивалентность норм
Все нормы в пространстве
K
m
×
n
{\displaystyle K^{m\times n}}
эквивалентны, то есть для любых двух норм
‖
.
‖
α
{\displaystyle \|.\|_{\alpha }}
и
‖
.
‖
β
{\displaystyle \|.\|_{\beta }}
и для любой матрицы
A
∈
K
m
×
n
{\displaystyle A\in K^{m\times n}}
верно двойное неравенство:
C
1
‖
A
‖
α
≤
‖
A
‖
β
≤
C
2
‖
A
‖
α
,
{\displaystyle C_{1}\|A\|_{\alpha }\leq \|A\|_{\beta }\leq C_{2}\|A\|_{\alpha },}
где константы
C
1
{\displaystyle C_{1}}
и
C
2
{\displaystyle C_{2}}
не зависят от матрицы
A
{\displaystyle A}
.
Для
A
∈
R
m
×
n
{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}
справедливы неравенства:
‖
A
‖
2
≤
‖
A
‖
F
≤
n
‖
A
‖
2
{\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{2}}
,
‖
A
‖
max
≤
‖
A
‖
2
≤
m
n
‖
A
‖
max
{\displaystyle \|A\|_{\text{max}}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\text{max}}}
,
1
n
‖
A
‖
∞
≤
‖
A
‖
2
≤
m
‖
A
‖
∞
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|_{\infty }}
,
1
m
‖
A
‖
1
≤
‖
A
‖
2
≤
n
‖
A
‖
1
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{1}}
,
где
‖
A
‖
1
{\displaystyle \|A\|_{1}}
,
‖
A
‖
2
{\displaystyle \|A\|_{2}}
и
‖
A
‖
∞
{\displaystyle \|A\|_{\infty }}
— операторные нормы[5] .
Применение
Матричные нормы часто используются при анализе вычислительных методов линейной алгебры. Например, программа решения систем линейных алгебраических уравнений может давать неточный результат, если матрица коэффициентов плохо обусловленная («почти вырожденная »). Для количественной характеристики близости к вырожденности нужно уметь измерять расстояние в пространстве матриц. Такую возможность дают матричные нормы[6] .
См. также
Примечания
↑ Гантмахер Р. Ф. Теория матриц, 1988 , с. 410.
↑ Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996 , с. 210.
↑ 1 2 Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, 1998 , с. 311.
↑ Беллман Р. Введение в теорию матриц, 1969 , с. 196.
↑ Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления, 1999 , с. 63.
↑ Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления, 1999 , с. 61.
Литература
Ссылки