Расстояние Минковского: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
источники, оформление
 
(не показаны 3 промежуточные версии 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
'''Расстояние Минковского''' (''метрика Минковского'') — параметрическая [[Метрика (математика)|метрика]] на [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]], которую можно рассматривать как обобщение [[евклидова метрика|евклидова расстояния]] и [[Расстояние городских кварталов|расстояния городских кварталов]]. Названа в честь немецкого математика [[Минковский, Герман|Германа Минковского]], впервые систематически изучившего данное семейство функций расстояния.
'''Расстояние Минковского''' (''метрика Минковского'') — параметрическая [[Метрика (метрическая геометрия)|метрика]] на [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]], которую можно рассматривать как обобщение [[евклидова метрика|евклидова расстояния]] и [[Расстояние городских кварталов|расстояния городских кварталов]]. Названа в честь немецкого математика [[Минковский, Герман|Германа Минковского]], впервые систематически изучившего данное семейство функций расстояния.


Расстояние Минковского порядка <math>p</math> между двумя точками определяется как:
Расстояние Минковского порядка <math>p</math> между двумя точками <math>x,y \in \mathbb{R}^n</math> определяется как{{sfn|Deza, Deza|2016|p=102}}


:<math>\rho(x,y) = \left(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p\right)^{1/p}</math>.
:<math>\rho(x,y) = \left(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p\right)^{1/p}</math>.

:
Для <math>p\geqslant1</math> расстояние Минковского является метрикой вследствие [[Неравенство Минковского|неравенства Минковского]].
Для <math>p\geqslant1</math> расстояние Минковского является метрикой вследствие [[Неравенство Минковского|неравенства Минковского]].


Для <math>p<1</math> расстояние не является метрикой, поскольку нарушается [[неравенство треугольника]].
Для <math>p<1</math> расстояние не является метрикой, поскольку нарушается [[неравенство треугольника]].


В приложениях чаще всего используют функцию расстояния с параметром <math>p</math>, равным 1 ([[расстояние городских кварталов]]) или 2 ([[евклидова метрика]]).
При <math>p=\infty</math> метрика обращается в [[расстояние Чебышёва]]{{sfn|Deza, Deza|2016|p=368}}.
В приложениях чаще всего используют функцию расстояния с параметром <math>p</math>, равным 1 ([[расстояние городских кварталов]]) или 2 ([[евклидова метрика]]){{sfn|Deza, Deza|2016|p=102—103}}.

[[Файл:2D unit balls.svg|760px|мини|центр|Единичная окружность при различных значениях параметра <math>p</math> расстояния Минковского]]


Схожая параметрическая конструкция в [[Функциональный анализ|функциональном анализе]] — [[Норма (математика)|норма]] на [[Пространство Lp|пространствах <math>L^p</math>]], которая вводится подобным образом{{sfn|Deza, Deza|2016|p=104}}.
При <math>p=\infty</math> метрика обращается в [[расстояние Чебышёва]].


== Примечания ==
[[Файл:Minkowski3.png|760px|мини|центр|Единичная окружность при различных значениях параметра <math>p</math> расстояния Минковского]]
{{примечания}}


== Литература ==
Схожая параметрическая конструкция в [[Функциональный анализ|функциональном анализе]] — [[Пространство Lp|пространства <math>L^p</math>]], где подобным образом вводится [[Норма (математика)|норма]] на функциональных пространствах.
* {{книга |автор={{автор|Деза, Мишель Мари|Deza, M. M.}}, {{автор||Deza, E.}} |isbn=978-3-662-52843-3 |doi=10.1007/978-3-662-52844-0 |язык=en |заглавие=Encyclopedia of Distances |издание=Fourth Edition |год=2016 |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |ref=Deza, Deza }}


{{rq|source|empty|topic=math}}
{{math-stub}}


[[Категория:Метрическая геометрия]]
[[Категория:Метрическая геометрия]]

Текущая версия от 16:54, 8 декабря 2021

Расстояние Минковского (метрика Минковского) — параметрическая метрика на евклидовом пространстве, которую можно рассматривать как обобщение евклидова расстояния и расстояния городских кварталов. Названа в честь немецкого математика Германа Минковского, впервые систематически изучившего данное семейство функций расстояния.

Расстояние Минковского порядка между двумя точками определяется как[1]

.

Для расстояние Минковского является метрикой вследствие неравенства Минковского.

Для расстояние не является метрикой, поскольку нарушается неравенство треугольника.

При метрика обращается в расстояние Чебышёва[2].

В приложениях чаще всего используют функцию расстояния с параметром , равным 1 (расстояние городских кварталов) или 2 (евклидова метрика)[3].

Единичная окружность при различных значениях параметра расстояния Минковского

Схожая параметрическая конструкция в функциональном анализенорма на пространствах , которая вводится подобным образом[4].

Примечания

[править | править код]
  1. Deza, Deza, 2016, p. 102.
  2. Deza, Deza, 2016, p. 368.
  3. Deza, Deza, 2016, p. 102—103.
  4. Deza, Deza, 2016, p. 104.

Литература

[править | править код]
  • Deza, M. M., Deza, E.. Encyclopedia of Distances (англ.). — Fourth Edition. — Springer, 2016. — ISBN 978-3-662-52843-3. — doi:10.1007/978-3-662-52844-0.