Электромагнитный потенциал
В современной физике электромагни́тный потенциа́л обычно означает четырёхмерный потенциал электромагнитного поля, являющийся 4-вектором (1-формой). Именно в связи с векторным (4-векторным) характером электромагнитного потенциала электромагнитное поле относится к классу векторных полей в том смысле, который употребляется в современной физике по отношению к фундаментальным бозонным полям (например, гравитационное поле является в этом смысле не векторным, а тензорным полем).
- Обозначается электромагнитный потенциал чаще всего или , что подразумевает величину с индексом, имеющую четыре компоненты или , причём индексом 0, как правило, обозначается временная компонента, а индексами 1, 2, 3 — три пространственных. В данной статье мы будем придерживаться первого обозначения.
- В современной литературе могут использоваться более абстрактные обозначения.
В любой определенной инерциальной системе отсчёта электромагнитный потенциал распадается[1] на скалярный (в трёхмерном пространстве) потенциал и трехмерный векторный потенциал ; эти потенциалы и и есть те скалярный и векторный потенциалы, которые используются в традиционной трёхмерной формулировке электродинамики. В случае, когда электромагнитное поле не зависит от времени (или быстротой его изменения в конкретной задаче можно пренебречь), то есть в случае (приближении) электростатики и магнитостатики, напряжённость электрического поля выражается через , называемый в этом случае электростатическим потенциалом, а напряжённость магнитного поля (магнитная индукция)[2] — только через векторный потенциал. Однако в общем случае (когда поля меняются со временем) в выражение для электрического поля входит также и векторный потенциал, тогда как магнитное всегда выражается лишь через векторный (нулевая компонента электромагнитного потенциала в это выражение не входит).
Связь напряжённостей с электромагнитным потенциалом в общем случае такова в традиционных трёхмерных векторных обозначениях[3]:
где — напряжённость электрического поля, — магнитная индукция (или, что в случае вакуума в сущности то же самое, напряженность магнитного поля), — оператор набла, причём — градиент скалярного потенциала, а — ротор векторного потенциала.
В несколько более современной четырёхмерной формулировке эти же соотношения можно записать как выражение тензора электромагнитного поля через 4-вектор электромагнитного потенциала:
где — тензор электромагнитного поля, компоненты которого представляют собой компоненты .
Приведённое выражение является обобщением выражения ротора для случая четырёхмерного векторного поля.
При переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты преобразуются, как это свойственно компонентам 4-вектора, посредством преобразований Лоренца.
С использованием электромагнитного потенциала можно записать добавку к действию S для заряженной частицы[4], вызванную её взаимодействием с электромагнитным полем:
или
(первая форма удобна для вывода уравнений поля (с источниками), а вторая — для вывода уравнения движения заряженной частицы); здесь — заряд частицы, — 4-скорость, — дифференциал собственного времени (интервала вдоль траектории частицы, деленного на ), — трёхмерная скорость, — скорость света, а — четырёхмерные пространственно-временные координаты частицы.
Физический смысл
правитьФизический смысл четырёхмерного электромагнитного потенциала можно прояснить, заметив, что при взаимодействии заряженной частицы (с электрическим зарядом q) с электромагнитным полем этот потенциал даёт добавку в фазу волновой функции частицы:
- ,
или, иначе говоря, вклад в действие (формула отличается от записанной выше только отсутствием множителя , а в системе единиц, где редуцированная постоянная Планка обе формулы совпадают). Изменение фазы волновой функции частицы проявляется в сдвиге интерференционных полос при наблюдении интерференции заряженных частиц (см., например, эффект Ааронова — Бома).
Физический смысл электрического и магнитного потенциалов в более простом частном случае электростатики и магнитостатики, а также единицы измерения этих потенциалов обсуждаются в статьях Электростатический потенциал и Векторный потенциал электромагнитного поля.
См. также
правитьПримечания
править- ↑ В данной записи использовано ковариантное представление электромагнитного потенциала в сигнатуре лоренцевой метрики (+−−−), используемое и в других формулах статьи. Контравариантное представление отличается от ковариантного в лоренцевой метрике (такой сигнатуры) лишь знаком трёх пространственных компонент. В представлении с мнимой временной компонентой (в формально евклидовой метрике) электромагнитный потенциал всегда записывается в одинаковом виде: .
- ↑ В статье статье рассматривается лишь поля в вакууме, поэтому напряженность магнитного поля и магнитная индукция в сущности не различаются (правда, в некоторых системах единиц, например, в СИ, они имеют разную размерность, но даже в таких единицах в вакууме отличаются друг от друга лишь постоянным множителем).
- ↑ В зависимости от используемой системы физических единиц в эти формулы, а также в формулы, связывающие четырёхмерный электромагнитный потенциал с трёхмерными векторным потенциалом и скалярным потенциалом, могут входить различные размерные постоянный коэффициенты; мы для простоты приводим формулы в системе единиц, где скорость света равна единице, и все скорости безразмерны.
- ↑ Имеется в виду точечная частица без магнитного момента.