h-принцип

H-принцип (читается аш-принцип) — общий способ решения дифференциальных уравнений в частных производных и, в более общем плане, дифференциальных соотношений в частных производных. Н-принцип хорош для недоопределённых систем, подобных тем, которые появляются в задачах о погружении, изометрическом погружении и других.

Возможность вывернуть сферу наизнанку является одним из проявлений h-принципа

Теория оформилась в работах Элиашберга, Громова и Филлипса.

Основанием послужили более ранние результаты, в которых решение дифференциальных соотношений сводилось к гомотопии, в частности в задачах о погружениях.

Первые идеи h-принципа появились в теореме Уитни — Грауштайна, парадоксе выворачивания сферы, теореме Нэша — Кёйпера и теореме Смейла — Хирша.

Примерное представление

Предположим, мы хотим найти функцию $f$ на $\mathbb {R} ^{m}$, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных степени $k$ в координатах $(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})$. Это уравнение можно записать как

$\Psi (u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},J_{f}^{k})=0,$

где $J_{f}^{k}$ означает все частные производные $f$ до степени $k$. Вместо каждой переменной в $J_{f}^{k}$ подставим независимую переменную $y_{1},y_{2},\dots ,y_{N}.$ Наше исходное уравнение можно рассматривать как систему

$\Psi (u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},y_{1},y_{2},\dots ,y_{N})=0$

и некоторое количество уравнений следующего типа

$y_{j}={\partial ^{k}f \over \partial u_{i_{1}}\ldots \partial u_{i_{k}}}.$

Решение уравнения

$\Psi (u_{1},u_{2},\dots ,u_{m},y_{1},y_{2},\dots ,y_{N})=0$

называется формальным или неголономным решением, решение системы (которое является решением нашего первоначального уравнения) называется голономным решением.

Для существования голономного решения необходимо существование  неголономного решения. Обычно последнее довольно легко проверить, и если его нет, то наше исходное уравнение не имеет решений.

Говорят, что уравнение в частных производных удовлетворяет h-принципу, если любое неголономное решение может быть продеформировано в голономное в классе неголономных решений. Таким образом, при выполнении h-принципа, дифференциально-топологическая задача сводится к алгебраической и топологической задаче. Более конкретно это означает, что кроме топологических, нет других препятствий для существования голономных решений. Топологическая проблема поиска неголономных решений обычно намного проще.

Многие недоопределенные дифференциальные уравнения в частных производных удовлетворяют h-принципу.

Невыполнение h-принципа для определённого уравнения — тоже интересное утверждение, интуитивно это означает, что изучаемые объекты имеют нетривиальную геометрию, которая не может быть сведена к топологии. Примером служат лагранжевы вложения в симплектическое многообразие; они не удовлетворяют h-принципу, чтобы доказать это, используют инварианты на основе псевдо-голоморфных кривых.

Простейший пример

Рассмотрим автомобиль, движущийся в плоскости. Положение машины на плоскости определяется тремя параметрами: двумя координатами $x$ и $y$ (например, пусть эти координаты задают положение средней точки между задними колёсами) и углом $\alpha$, который описывает ориентацию автомобиля. В движении автомобиль удовлетворяет уравнению

${\dot {x}}\sin \alpha ={\dot {y}}\cos \alpha ,$

предполагая, что автомобиль двигается без заноса.

Неголономное решение в данном случае соответствует движению автомобиля за счет скольжения в плоскости. В этом случае неголономные решения не только гомотопны голономным, но также они сколь угодно хорошо аппроксимируются голономными (этого можно добиться движением взад-вперед, как при параллельной парковке в ограниченном пространстве) — обратите внимание, что при этом и положение и направление автомобиля аппроксимируются сколь угодно близко. Последнее свойство сильнее, чем общий h-принцип; оно называется $C^{0}$-плотный h-принцип.

Приложения

Здесь перечислены несколько контринтуитивных результатов, которые можно доказать применением h-принципа:

• Выворачивание конуса. Рассмотрим функцию f на R² без начала координат, $f(x)=|x|$. Тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство функций $f_{t}$ таких, что $f_{0}=f$, $f_{1}=-f$, и для любого $t$ градиент $f_{t}$ отличен от нуля в любой точке.
• Любое открытое многообразие допускает (не полную) риманову метрику положительной (или отрицательной) кривизны.
• Выворачивание сферы без складок или разрыва может быть проделано, используя только $C^{1}$ изометрические вложения сферы.
• Теорема Нэша о регулярных вложениях.

Литература

• Мишачев Н.М., Элиашберг Я.М. Введение в h-принцип. — М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2004. — ISBN 5-94057-126-3.
• Громов М. Дифференцальные соотношения с частными производными. — М.: Мир. — ISBN 5-03-001297-4.
• Н. Х. Кёйпер, О C¹-изометрических вложениях // Математика 1957, том 1, номер 2, стр. 17—28.
• Дж. Нэш, C¹-изометрические вложения // Математика 1957, том 1, номер 2, стр. 3—16.
• M. W. Hirsch, Immersions of manifold. Trans. Amer. Math. Soc. 93 (1959)
• S. Smale, The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces. Ann. of Math(2) 69 (1959)
• David Spring, Convex integration theory - solutions to the h-principle in geometry and topology, Monographs in Mathematics 92, Birkhauser-Verlag, 1998