Тачка (геометрија)

За остале употребе, в. Тачка (разврставање).

Тачка или точка, у математици, обично означава елемент неког скупа названог простор.

Прецизније, у Еуклидској геометрији, тачка је примитивни појам на којем је геометрија заснована. Бивајући примитивни појам значи да тачка не може бити дефинисана у смислу претходно дефинисаних објеката. То јест, тачка је дефинисана једино неким особинама, званим аксиоми које мора задовољити. Конкретно, геометријска тачка нема било какву дужину, површину, волумен, или било коју димензионалну карактеристику. Честа интерпретација је да је концепт тачке требао ухватити појам уникатне локације у Еуклидском простору.

Такође, један од основних појмова механике је материјална тачка. То је тело које нема димензија, али има масу, и у сваком тренутку се поклапа са неком тачком простора. Материјална тачка представља идеализацију која у реалности не постоји.^[1]

Тачке у Еуклидској геометрији

Ограничен скуп тачака (плаво) у 2Д Еуклидском простору.

Тачке, посматране у оквиру Еуклидске геометрије, су један од најтемељнијих објеката. Еуклид је првобитно дефинирао тачке као "оно што нема дијела". У дводимензионалном Еуклидском простору, тачка је представљена уређеним паром (x, y) бројева, гдје први број конвенционално представља хоризонталу и често се означава x, а други број конвенционално представља вертикалу и често се означава y. Ова идеја је лахко генерализирана за тродимензионални Еуклидски простор, гдје је тачка представљена као уређена тројка (x, y, з) са додатним трећим бројем који означава дубину и често се означава з. Даљне генерализације су представљене као уређени туплет н увјета, $(а 1, а 2, \dots , а н)$ , гдје је н димензија простора у којем се тачка налази.

Многе конструкције унутар еуклидске геометрије састоје се од неограничене колекције тачака које су у складу са одређеним аксиомима. То се обично представља скупом тачака; Као примјер, линија је неограничен скуп тачака облика $\scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace }$ , гдје су $ц 1$ кроз $ц н$ и д константе и н је димензија простора. Сличне конструкције постоје које дефинирају раван, линијски сегмент и остале сличне концепте. Успут, дегенерисани линијски сегмент се састоји од једне тачке.

У додатку са дефинисањем тачака и облика везаних за тачке, Еуклид је такођер узео као истинито кључну идеју о тачкама; тврдио је да било које двије тачке могу бити повезане правцем. Ово се лахко потврђује под модерном експанзијом Еуклидске геометрије, те има трајне посљедице на свом представљању, допуштајући конструкцију скоро свих геометријских концепата времена. Ипак, Еуцлидови постулати тачака нису ни комплетни нити дефинитивни, јер је повремено претпостављао чињенице о тачкама које нису слиједиле директно из његових аксиома, попут редања тачака на линију или постојање посебних тачака. Унаточ томе, модерне експанзије система служе за уклањање ових претпоставки.

Димензија тачке

Постоји неколико нееквивалентних дефиниција димензије у математици. У свим опћим дефиницијама, тачка је 0-димензионална.

Димензија векторског простора

Главни чланак: Димензија (векторски простор)

Димензија векторског простора је максимална величина линеарно независног подскупа. У векторском простору који се састоји од једне тачке (која не смије бити нулти вектор 0), не постоји линеарно независан подскуп. Нулти вектор није по себи линеарно независан, јер постоји нетривијална линеарна комбинација која га чини нулом: $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$ .

Тополошка димензија

Тополошка димезија тополошког простора X је дефинисана да буде минималне вриједности н, таква да је сваки ограничени отворени интервал ${\mathcal {A}}$ од X признаје ограничен отворени интервал ${\mathcal {B}}$ од X који рафинира ${\mathcal {A}}$ у којем се тачка не налази у више од н+1 елемената. Ако такав најмањи н не постоји, за простор се каже да је од бесконачно-покривене димензије.

Тачка је нулте димензије са поштовањем покривености димензије јер сваки отворени интервал простора има рафинирање које се састоји од једног отвореног скупа.

Хаусдорффова димензија

Пустимо X да буде метрички простор. Ако је С ⊂ X и д ∈ [0, ∞), д-димензионални Хаусдорффов садржај од С је инфимум скупа бројева за δ ≥ 0 таквих да постоји нека (индексирана) колекција лоптица $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ које покривају С са р_и > 0 за сваки и ∈ I који задовољава $\sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta$ .

Хаусдорффова димензија X је дефинисана са

\operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.

Тачка има Хаусдорффову димензију 0 јер може бити покривена само једном лоптом произвољно малог радијуса.

Геометрија без тачака

Иако је идеја тачке генерално сматрана темељем у стандардној геометрији и топологији, постоје неки системи који су је заборавили, нпр. некомутативна геометрија и топологија без тачке. Бесмислени и без-тачке простор није дефинисан као скуп, него преко неке структуре (алгебарске или логичне респективно) што изгледа као добро позната функција простора у скупу: алгебра непрекидних функција или алгебра скупова респективно. Прецизније, такве структуре генерализирају добро познате просторе функција у смислу да операција "узима вриједност на овој тачки" може да не буде дефинисана. Даља традиција почиње из неких књига аутора А. Н. Wхитехеад у којима је појам регије претпостављен као примитив заједно са оним из инклузије или конекције.

Маса тачака и Дирацова делта функција

Главни чланак: Дирацова делта функција

Често у физици и математици, корисно је замишљати као да има не-нулту масу или набој (ово је посебно често у електромагнетизму, гдје су електрони идеализирани као тачке са не-нултим набојем). Дирацова делта функција, или δ функција, јесте (неформално) генерализирана функција реалне бројне линије која је нула свуда осим у нули, са интегралом једног на цијелој реалној линији.^[2]^[3]^[4] Делта функција се понекад сматра као бесконачно висока, бесконачно танак шпиц на извору, са укупном површином један испод шпица, те физикално представља идеализирану тачкасту масу или тачкасти набој.^[5] Први пут је објављена од стране теоретског физичара Паула Дираца. У контексту сигналног процесирања често се означава као јединични импулсни симбол (или функција).^[6] Њен дискретни аналог је Кронецкер делта функција која се често дефинише на ограниченој домени и узима вриједности 0 и 1.

Повезано

Референце

↑ Југослав Карамарковић, Физика (стр. 13), Универзитет у Нишу, 2005.
↑ Дирац 1958, §15 Тхе δ фунцтион, п. 58
↑ Гел'фанд & Схилов 1968, Волуме I, §§1.1, 1.3
↑ Сцхwартз 1950: стр. 3
↑ Арфкен & Wебер 2000: стр. 84
↑ Брацеwелл 1986, Цхаптер 5

Литература

Цларке, Боwман, 1985, "Индивидуалс анд Поинтс," Нотре Даме Јоурнал оф Формал Логиц 26: 61–75.
Де Лагуна, Т., 1922, "Поинт, лине анд сурфаце ас сетс оф солидс," Тхе Јоурнал оф Пхилосопхy 19: 449–61.
Герла, Г., 1995, "Поинтлесс Геометриес Архивирано 2011-07-17 на Wаyбацк Мацхине-у" ин Буекенхоут, Ф., Кантор, W. едс., Хандбоок оф инциденце геометрy: буилдингс анд фоундатионс. Нортх-Холланд: 1015–31.
Wхитехеад А. Н., 1919. Ан Енqуирy Цонцернинг тхе Принциплес оф Натурал Кноwледге. Цамбридге Унив. Пресс. 2нд ед., 1925.

Вањске везе

Дефинитион оф Поинт wитх интерацтиве апплет
Поинтс дефинитион пагес, wитх интерацтиве аниматионс тхат аре алсо усефул ин а цлассроом сеттинг. Матх Опен Референце
Шаблон:ПланетМатх референце
Wеисстеин, Ериц W., "Поинт", МатхWорлд.

[1] Југослав Карамарковић, Физика (стр. 13), Универзитет у Нишу, 2005.

[Dirac1958p58-2] Дирац 1958, §15 Тхе δ фунцтион, п. 58

[3] Гел'фанд & Схилов 1968, Волуме I, §§1.1, 1.3

[4] Сцхwартз 1950: стр. 3

[5] Арфкен & Wебер 2000: стр. 84

[Bracewell_1986_loc=Chapter_5-6] Брацеwелл 1986, Цхаптер 5

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Тачка (геометрија)

Садржај

Тачке у Еуклидској геометрији