Psevdosfera

Psevdosfera je izraz, ki se v geometriji uporablja za ploskve s konstantno negativno Gaussovo ukrivljenostjo. Lahko se nanaša na teoretske ploskve z negativno ukrivljenostjo, na traktrikoide ali na hiperboloide.

Parametrična oblika enačbe

Kartezična parametrična oblika enačbe ploskve, ki nastane z vrtenjem traktrise okoli asimptote, je

$x=\operatorname {sech} {\text{ }}u{\text{ }}\cos {\text{ }}v$

$y=\operatorname {sech} {\text{ }}u{\text{ }}\sin {\text{ }}v$

$z=u-\operatorname {tanh} {\text{ }}u$

kjer je

• $u~\epsilon ~(-\infty ,~\infty )$
• $v~\epsilon ~[0,~2\pi )$

Enačbo lahko zapišemo tudi v implicitni oliki v kartezičnih koordinatah

$z^{2}=[a\cdot \operatorname {sech} ^{-1}{\sqrt {\frac {x^{2}+y^{2}}{a}}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}-y^{2}}}]^{2}$.

Površina

Površina je enaka

$P=2\int \limits _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\operatorname {sech} {\text{ }}u{\text{ }}\operatorname {tanh} {\text{ }}u{\text{ }}du{\text{ }}dv=4\pi$.

Prostornina

Prostornina je

$V=\pi {\text{ }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} {\text{ }}u{\text{ }}\operatorname {tanh} {\text{ }}u{\text{ }}du=2/3\pi$.

Teoretične psevdosfere

Psevdosfera je ploskev, ki ima ukrivljenost enako $-1/R^{2}$. To je podobno kot pri sferi s polmerom $R\,$, ki ima ukrivljenost $1/R^{2}$. Pojem je vpeljal italijanski matematik Eugenio Beltrami (1835 – 1900).

Traktrikoida

Traktrikoida

Traktrikoido dobimo z vrtenjem traktrise okoli asimptote

Hiperboloida

Nekateri viri, ki uporabljajo hiperbolni model hiperbolične ravnine, imajo tudi hiperboloid za psevdosfero.

Glej tudi

• Dinijeva ploskev
• sfera
• rotacijska ploskev

Zunanje povezave

• Prevdosfera na MathWorld (angleško)
• Prevdosfera v The Encyclopedia of Science (angleško)
• Galerija psevdosfernih ploskev (angleško)