Златни пресек
У математици две величине су у златном односу, ако је однос између две величине једнак односу суме те две вредности наспрам веће вредности. Слика на десној страни илуструје геометријски однос. Алгебарски, за количине a и b и a > b > 0,
грчко слово фи ( или ) представља константу. Њена вредност је:
Златни однос има и назив златни пресек (латински: sectio aurea).[2][3]. Остали називи укључују крајња и средња размера[4], екстремни однос, средишњи пресек, златна пропорција, и златни број.[5][6][7] Sectio divina лат. (изговор: секцио дивина). Божанствени пресјек.[8] Овај однос дужи примјењен на предметима, сликама итд. изазива посебан естетски доживљај – допадање, па отуда и назив „Божански пресјек“.[8]
Златни однос се појављује у неким шаблонима у природи, укључујући phyllotaxis (спирално ређање листова) и у другим деловима биљака.
Математичари још од Еуклида су проучавали својства златног односа, укључујући појављивање у димензијама правилног петоугла и у златном правоугаонику, који може да се подели у квадрат и још један правоугаоник истог односа.
Историја
[уреди | уреди извор]Теорија златног пресека започета је у антици, а свој процват имала је у ренесанси када су уметници, математичари, физичари и астролози тражили савршенство у композицијама познатих структура.
Херодот (484. - 424. п. н. е.) је записао: „Један египатски свештеник говорећи о облику Кеопсове пирамиде споменуо ми је да је квадрат над њеном висином једнак површини бочног троугла.”
Грчки кипар Фидије у V веку п. н. е. применио је златни пресек у дизајну својих скулптура и градњи Партенона. Платон (грчки филозоф, V i IV век пне) у „Тимотеју” описује пет правилних геометријских тела као основу хармоничне структуре света. Златни пресек игра кључну улогу у димензијама и обликовању неких од ових тела. Питагорејци (око 500. године п. н. е.) долазе до једног од најважнијих открића у математици: дијагонала и страница квадрата (правилног петоугла) су несамерљиве.
Грчки математичар Еуклид први је овај број уочио и математички изразио. Око 300 година п. н. е. написао је књигу „Елементи” у којој наводи прву забележену дефиницију златног пресека.
Дата дужина се може поделити тако да правоугаоник обухваћен целом дужином и једним одсечком, буде једнак квадрату на другом одсечку.
Сва знања старих Грка објединио је римски архитекта Марко Витрувије у делу De architectura libri decem или Десет књига о архитектури, посвећеном императору Августу. Писао је о симетрији храмова, а њихове пропорције упоређује с размерама човечијег тела. Витрувије је уцртао људско тело у кружницу, што је касније поново интерпретирао Леонардо Да Винчи. Лука Пачоли (1446–1510) штампао је у Венецији 1509. дело De divina proportione, које је имало велики утицај и након којег златни пресек доживљава праву ренесансу. У њему описује хармонијске особине „божанске размере”. Књигу је илустровао Леонардо да Винчи.
Мартин Ом је 1835. године у другом издању уџбеника Die reine Elementar - Mathematik (Чиста елементарна математика) први пут користи термин златни пресек. Ознаку је 1909. предложио амерички математичар Марк Бар у част славног старогрчког кипара Фидије (480–430. п. н. е.)
Прорачун
[уреди | уреди извор]Бинарни | 1.1001111000110111011... |
Декадни | 1.6180339887498948482... |
Хексадецимални | 1.9E3779B97F4A7C15F39... |
Верижни разломак | |
Алгебарски облик | |
Бесконачни ред |
Две величине a и b су у златном односу φ ако
Један метод за проналажење вредности φ је са решавањем леве стране. Упрошћавањем разломка и заменом у b/a = 1/φ,
Стога је,
Множењем са φ даје
које може да се изрази као
Коришћењем формуле за решавање квадратне једначине, добијају се два решења:
и
Зато што је φ однос између две позитивне вредности, φ је увек позитивна вредност:
- .
Алгебра
[уреди | уреди извор]Ирационалност
[уреди | уреди извор]Златни однос је ирационалан број. Испод су два кратка доказа o ирационалности:
Контрадикција изразу у најнижој вредности
[уреди | уреди извор]Подсетимо се да:
- целина је дужи део плус краћи део;
- целина је дужи део као што је дужи део на краћи део.
Ако целину именујемо са n а дужи део са m, онда друга изјава постаје:
- n је према m исто као што је m према n − m,
или, алгебарски
Тврдити да је φ рационалан значи да је φ однос n/m где су n и m цели бројеви. Можемо рећи и да n/m имају најниже вредности и да су n и m позитивни бројеви. Али ако је разломак n/m у најнижим вредностима, онда се идентитет обележава са (*) за горњу једначину m/(n − m) која и даље поседује најниже вредности. То је контрадикција која произлази из тврдње да је φ рационалан.
Извод из ирационалности броја √5
[уреди | уреди извор]Још један кратак доказ — вероватно познатији — где ирационалност златног односа користи затвореност рационалних бројева код сабирања и множења. Ако је рационалан, онда је и такође рационалан, што је противречно чињеници да је квадратни корен од не-квадрата природног броја ирационалан.
Најмањи полином
[уреди | уреди извор]Златни однос је такође и алгебарски број а чак и алгебарски цео број (комплексан број који је корен унарног полинома). Најмањи полином гласи:
Због члана са степеном 2, овај полином у ствари има два корена, и друга вредност је сродник златном односу.
Сродник златног пресека
[уреди | уреди извор]Друга корена вредност најмањег полинома x2 - x - 1 је
Апсолутна вредност ове количине (≈ 0.618) одговара дужини односа у обрнутом смеру (дужина краће стране у односу на дужу страну, b/a), понекад позната под именом сродник златног пресека.[9] Означава се великим словом фи ():
Види још
[уреди | уреди извор]Референце
[уреди | уреди извор]- ^ Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2011). The Glorious Golden Ratio. Prometheus Books. стр. 11. ISBN 9-781-61614-424-1.
- ^ Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN 978-0-7679-0815-3.
- ^ Richard A Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World Scientific Publishing, 1997
- ^ Euclid, Elementi, Knjiga 6, Definicija 3.
- ^ Jay Hambidge, Dynamic Symmetry: The Greek Vase, New Haven CT: Yale University Press, 1920
- ^ William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference, Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003
- ^ Pacioli, Luca. De divina proportione, Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.
- ^ а б Вујаклија М, Лексикон страних речи и израза, Просвета, Београд, 1954. г.
- ^ Weisstein, Eric W. „Golden Ratio Conjugate”. MathWorld.
Литература
[уреди | уреди извор]- Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN 978-0-7679-0815-3.
- Livio, Mario (2003) [2002]. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (First trade paperback изд.). New York City: Broadway Books. ISBN 978-0-7679-0816-0.
- Stakhov, Alexey P.; Olsen, Scott (2009). The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. Singapore: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-277-582-5.
- Doczi, György (2005) [1981]. The Power of Limits: Proportional Harmonies in Nature, Art, and Architecture. Boston: Shambhala Publications. ISBN 1-59030-259-1.
- Huntley, H. E. (1970). The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-22254-3.
- Joseph, George G. (2000) [1991]. The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics (New изд.). Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8.
- Sahlqvist, Leif (2008). Cardinal Alignments and the Golden Section: Principles of Ancient Cosmography and Design (3rd Rev. изд.). Charleston, SC: BookSurge. ISBN 1-4196-2157-2.
- Schneider, Michael S. (1994). A Beginner's Guide to Constructing the Universe: The Mathematical Archetypes of Nature, Art, and Science. New York: HarperCollins. ISBN 0-06-016939-7.
- Scimone, Aldo (1997). La Sezione Aurea. Storia culturale di un leitmotiv della Matematica. Palermo: Sigma Edizioni. ISBN 978-88-7231-025-0.
- Walser, Hans (2001) [Der Goldene Schnitt 1993]. The Golden Section. Peter Hilton trans. Washington, DC: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-534-8.
- Olsen, Scott (2006). The Golden Section: Nature's Greatest Secret. Glastonbury: Wooden Books. стр. 3. ISBN 978-1-904263-47-0.
- Van Mersbergen, Audrey M., Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis with a Philosophical Polemic, Communication Quarterly, Vol. 46, 1998 ("a 'Golden Rectangle' has a ratio of the length of its sides equal to 1:1.61803+. The Parthenon is of these dimensions.")
- Livio, Mario. „The Golden Ratio in Art: Drawing heavily from The Golden Ratio” (PDF). стр. 6. Приступљено 11. 9. 2019.
- Le Corbusier, The Modulor, p. 35, as cited in Padovan, Richard, Proportion: Science, Philosophy, Architecture (1999), p. 320. Taylor & Francis. ISBN 978-0-419-22780-9.: "Both the paintings and the architectural designs make use of the golden section".
Спољашње везе
[уреди | уреди извор]- Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Golden ratio”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- "Golden Section" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
- Golden Section in Photography: Golden Ratio, Golden Triangles, Golden Spiral
- Weisstein, Eric W. „Golden Ratio”. MathWorld.
- „Researcher explains mystery of golden ratio”. PhysOrg. 21. 12. 2009..
- Knott, Ron. „The Golden section ratio: Phi”. Information and activities by a mathematics professor.
- The Pentagram & The Golden Ratio. Green, Thomas M. Updated June 2005. Archived November 2007. Geometry instruction with problems to solve.
- Schneider, Robert P. (2011). „A Golden Pair of Identities in the Theory of Numbers”. arXiv:1109.3216
[math.HO]. Proves formulas that involve the golden mean and the Euler totient and Möbius functions.
- The Myth That Will Not Go Away Архивирано на сајту Wayback Machine (12. новембар 2020), by Keith Devlin, addressing multiple allegations about the use of the golden ratio in culture.