Graf över absolutvärdesfunktionen för reella tal Absolutbeloppet motsvaras av ett tals avstånd till noll, (eller origo ), oavsett dess riktning. Den röda vektorn pekar på ett tal vars absolutbelopp är lika stort som samtliga tal på den gröna cirkeln.Absolutbeloppet , eller absolutvärdet av ett tal
x
{\displaystyle \ x}
|
x
|
{\displaystyle \ |x|}
reellt tal eller noll och kan ges den geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0-punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen .
Absolutbeloppet av ett reellt tal
x
{\displaystyle \ x}
|
x
|
=
{
x
,
x
≥
0
−
x
,
x
<
0
{\displaystyle |x|=\left\{{\begin{matrix}x,&x\geq 0\\-x,&x<0\end{matrix}}\right.}
Absolutbeloppet av ett komplext tal
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle \ z=a+bi}
|
z
|
=
z
z
∗
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle |z|={\sqrt {zz^{*}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
(se kvadratrot och komplexkonjugat .)
För en vektor
v
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(x_{1},x_{2},...,x_{n})}
|
v
|
=
x
1
2
+
x
2
2
+
.
.
.
+
x
n
2
{\displaystyle |\mathbf {v} |={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}}
Längden för en vektor svarar dock vanligen mot dess norm , vilken betecknas
|
|
v
|
|
{\displaystyle ||\mathbf {v} ||}
Egenskaper
Om a och b är komplexa tal gäller att:
|
a
|
≥
0
{\displaystyle |a|\geq 0}
|
a
|
=
0
⇔
a
=
0
{\displaystyle |a|=0\Leftrightarrow a=0}
|
a
b
|
=
|
a
|
|
b
|
{\displaystyle |ab|=|a||b|\,}
|
a
b
|
=
|
a
|
|
b
|
{\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}}
|
a
+
b
|
≤
|
a
|
+
|
b
|
{\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}
triangelolikheten )
|
a
−
b
|
≥
|
|
a
|
−
|
b
|
|
{\displaystyle |a-b|\geq ||a|-|b||}
|
a
|
=
a
a
∗
{\displaystyle |a|={\sqrt {aa^{*}}}}
a
∗
{\displaystyle a^{*}\,}
komplexkonjugat .Om a och b är reella gäller även
8.
|
a
|
≤
b
⇔
−
b
≤
a
≤
b
,
b
≥
0
{\displaystyle |a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b,b\geq 0}
Exempel
|
5
|
=
5
{\displaystyle \ |5|=5}
|
−
5
|
=
5
{\displaystyle \ |-5|=5}
|
1
+
i
|
=
2
{\displaystyle \ |1+i|={\sqrt {2}}}
