Equació de Helmholtz

La equació de Helmholtz , anomenada així per Hermann von Helmholtz ve donada per:

$(\nabla ^{2}+k^{2})\phi =0$

on $\nabla ^{2}$ és el laplacià, $k$ és una constant (nombre d'ona), i $\phi$ un camp escalar, és aquest cas, el camp magnètic i elèctric.

Deducció teòrica de l'equació

Anem a mostrar com es dedueixen les equacions de Helmholtz a partir de les equacions de Maxwell. Per mitjans no conductors lliures de fonts caracteritzats per $\epsilon$ i $\mu (\sigma =0)$, les equacions de Maxwell es redueixen a:

A : ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}$

B : ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}=-\epsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

C : ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=0$

D : ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {H}}=0$

Les equacions anteriors A , B , C i D són equacions diferencials de primer grau per als camps ${\vec {E}}$ i ${\vec {H}}$. Podem combinar per produir una equació de segon grau contenint únicament ${\vec {E}}$ o ${\vec {H}}$. Fem servir les equacions A i B i operant s'obté:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial ({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}})}{\partial t}}=-\mu \cdot \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$

Però sabem que: ${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})-{\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}$

i utilitzant l'equació C tenim que:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}$

Per tant substituint els termes tenim finalment que:

${\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}-\mu \cdot \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$

La velocitat de fase ve donada per:

$v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}$

el que significa que: $v_{\mathrm {p} }={\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}}$

i per tant, substituint, tenim:

${\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}-{\frac {1}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0$

Anàlogament podem treure l'equació per ${\vec {H}}$:

${\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {H}}-{\frac {1}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}=0$

Com podem apreciar, les dues equacions anteriors són les equacions d'ona vectorials homogènies . Descomponent aquestes dues equacions obtingudes en coordenades cartesianes podem descomposar-lo en tres equacions d'ones escalars, homogènies i unidimensionals. Cada component del camp el}ectric i magnètics ha de satisfer una equació la solució representa una ona. Per camps amb dependència harmònica amb el temps convenientment utilitzada fasors. D'aquesta manera del deduït previ, s'arriba a la conclusió:

${\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}+{\frac {\omega ^{2}}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}=0$

o

${\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}+k^{2}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}=0$

Anàlogament trobem la següent equació per al camp electromagnètic:

${\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {H_{\mathrm {s} }}}+k^{2}{\vec {H_{\mathrm {s} }}}=0$

Referències

• David K. Cheng "Fonaments d'Electromagnetisme per enginyeria"
• Pozar D.M. "Microwave engineering"