Mappa esponenziale

In geometria differenziale, la mappa esponenziale è una funzione che mappa lo spazio tangente in un punto di una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana sulla varietà stessa. La mappa esponenziale è utile a rappresentare un intorno di un punto tramite coordinate geodetiche.

Definizione

Sia $p$ un punto in una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana $M$ . La mappa esponenziale è una mappa

{\rm {exp}}_{p}:U\to M

definita su un insieme aperto $U$ dello spazio tangente $T_{p}$ in $p$ contenente l'origine, nel modo seguente.

Per ogni vettore $v$ non nullo dello spazio tangente, esiste un'unica geodetica

\gamma _{v}:(-a,b)\to M

tale che $\gamma _{v}(0)=p$ e $\gamma '_{v}(0)=v$ . La geodetica è qui descritta nel suo dominio massimale: i numeri $a$ e $b$ sono positivi o $+\infty$ . Se $b>1$ , si definisce ${\rm {exp}}_{p}(v)=\gamma _{v}(1)$ .

Si estende infine la mappa esponenziale all'origine, ponendo ${\rm {exp}}_{p}(0)=p$ . I vettori su cui ${\rm {exp}}_{p}$ è definita formano un aperto $U$ contenente l'origine.

Proprietà

Geodetiche

La mappa esponenziale mappa ogni retta passante per l'origine sulla geodetica avente come tangente quella retta. Se la geodetica può essere estesa fino ad avere lunghezza infinita in ambo i sensi, la mappa è definita su tutta la retta; altrimenti, la mappa è definita solo sul segmento aperto massimale su cui la geodetica può essere estesa.

Completezza

Il teorema di Hopf-Rinow fornisce varie nozioni equivalenti di completezza per una varietà riemanniana. Tra queste, c'è la possibilità di prolungare indefinitivamente ogni geodetica. Segue quindi che se $M$ è completa la mappa esponenziale è definita su tutto lo spazio tangente

{\rm {exp}}:T_{x}\to M\,\!

per ogni punto $x$ di $M$ .

Invertibilità locale

La mappa esponenziale è continua e differenziabile, con differenziale invertibile nell'origine. Per il teorema di invertibilità locale, esiste un intorno $V$ dell'origine in $T_{x}$ tale che

f|_{V}:V\to f(V)\,\!

è un diffeomorfismo. La mappa esponenziale è cioè un diffeomorfismo locale nell'origine, ed è quindi utile a modellare la varietà $M$ localmente vicino a $x$ .

Raggio di iniettività

Benché lo sia in un intorno dell'origine, la mappa esponenziale non è però necessariamente globalmente iniettiva: il raggio di iniettività di una varietà riemanniana $M$ in $x$ è il massimo numero $R$ tale che la mappa

f|_{B_{R}}:B_{R}\to M

ristretta alla palla di raggio $R$ centrata in zero è iniettiva. La palla è

B_{R}={\big \{}x\in T_{x}\ {\big |}\ |x|<R{\big \}}

ove la norma $|x|$ di $x$ è data dal prodotto scalare definito dal tensore metrico.

Esempi

Varietà non completa

Se

M=\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}

è lo spazio euclideo privato dell'origine, e $x$ è un qualsiasi punto di $M$ , la mappa esponenziale non è mai definita su tutto il piano tangente $T_{x}$ . Infatti non risulta definita sul vettore $-x$ , poiché la geodetica uscente da $x$ in direzione $-x$ è definita soltanto fino a che questa non incontra l'origine. L'aperto $U$ è quindi tutto lo spazio privato di una semiretta.

Coordinate geodetiche

Le coordinate geodetiche in un intorno di un punto $p$ sono definite tramite la mappa esponenziale.

Definizione

Sia $p$ un punto di una varietà (pseudo-)riemanniana $M$ . Lo spazio tangente $T_{p}M$ è dotato di un prodotto scalare definito positivo, dato dal tensore metrico. Lo spazio è quindi identificabile con lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ : per ottenere questa identificazione è sufficiente scegliere una base ortonormale.

Sia $U$ un intorno dell'origine nello spazio tangente $T_{p}M$ su cui la mappa esponenziale è un diffeomorfismo. Questo aperto è identificato con un aperto di $\mathbb {R} ^{n}$ . Conseguentemente, l'immagine $\operatorname {exp} (U)$ è identificata con questo aperto. L'identificazione fornisce un sistema di coordinate, detto geodetico o normale.

Proprietà

Le coordinate geodetiche identificano un intorno aperto di $p$ con un intorno aperto dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ . Valgono le proprietà seguenti.