E (costant matematega)

Vedrina

Quest articol chì l'è in la Vedrina de la Wikipedia

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

La custanta matemàtica e (cjamada a li vöölt custaant da l'Euler, in unuur dal matemàtich svízzer Leonhardt Euler o custaant dal Napier, in unuur dal matemàtich Scuzzees John Napier che al a intrudüii i lugariitm l'è la basa di logarítim natüraal.

Ul nümer e al è istess che exp(1), in dúe exp l'è la funziun espunenziala. Al curespuunt al límit matemàtich

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

Chest límit-chí al esiist, gja che la seqénza $n\mapsto \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ l'è cresseent e limitada da sura. Ches-chí al dà aprussimadameent e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 ...

Ul nümer e al sa pöö definí anca mediaant la séria infinita

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots$

in dúe n! al è ul faturiaal da n. Chesta séria la cunveerc, perchè sa a:

$1+1+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots \leq 1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots =3,$

i.e, ul desenvilüpi in séria da e al è duminaa cunt una séria geométrica cunvergeent, in tant che da resun 1/2.

Finalmeent, sa pöö cunsiderà e cuma l'ünica sulüzziun pusitiva x da l'equazziun integrala

$\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={1}.$

Sa pöö pruvà che sti definizziun a inn equivaleent.

La funziun exponenziala [exp(x)] l'è impurtaant gja che a l'è l'ünica (a maanch da mültiplicazziun par custaant) funziun che l'è istessa a la suva derivada, e la ven duvrada abitüalmeent par mudelizà di prucess da cressimeent u decressimeent.

La frazziun cuntínua da e la cunten una strutüra interessaant, cuma sa fa vidé da séguit:

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12...]\,$

La segueent espressiun, la identitaa da l'Euler, che relazziuna i cinch custaant püssee impurtaant in matemàtica, a l'è stada descuverta par Leonhardt Euler:

$e^{i\pi }+1=0\,\!$

A l'è un caas particülee (cun x = 0 e y = π) da la fòrmüla da l'Euler:

$e^{x+e\cdot y}=e^{x}\cdot (\cos y+e\cdot \sin y)$

vàlida par ogni $x,y\in {\mathbb {R} }$ (e da fatt par ogni $x,y\in {\mathbb {C} }$).

Al è savüü che e l'è irazziunal e trascendeent.