Matemática elementar/Equações algébricas

Definição

Uma equação é uma igualdade de expressões matemáticas, que pode ser utilizada no estudo das funções, nomeadamente das suas raízes. Pelo menos uma da expressão contém uma ou várias incógnitas (variáveis), cujo valor é denominado de solução ou soluções da equação.

Cada uma das expressões pode ser considerada como função matemática (p.e. f(x) e g(x)), e partilhar as suas propriedades, em que cada operação efetuada sobre uma das expressões, terá que ser replicada na outra

Raiz

Se as equações forem polinomiais, i.e., compostas por polinômios, o grau n da equação é o mesmo que o maior expoente encontrado de ambos polinômios, e a sua solução admite no máximo n raízes. A raiz de uma equação é o valor com o qual a incógnita anula a equação.

Número de raízes de uma equação

Relações entre coeficientes e raízes, Equações algébricas com coeficientes reais - pesquisa de raízes racionais, raízes complexas conjugadas.

Exemplo

Um exemplo de como completar quadrado:

Temos a seguinte equação: $(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4\,\!$

Agora imagine a equação:

$x^{2}+8x-5=0\,\!$

Vamos tentar transformá-la em um quadrado da soma.

$x^{2}+8x=5\,\!$

Perceba que $(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16\,\!$

$(x+4)^{2}-16=5\,\!$

$(x+4)^{2}=21\,\!$

Esse menos 16 é para subtrair do 16 que se forma no produto notável de

$(x+4)\,\!$,

é só isso, o método de completar quadrados é simplesmente você transformar os números em um quadrado da soma.

Casos particulares

Equação do 1º grau com 1 incógnita

Problemas do 1º grau

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo $a=c-4\,\!$. Assim:

$c+a=22\,\!$

$c+(c-4)=22\,\!$

$2c-4=22\,\!$

$2c-4+4=22+4\,\!$

$2c=26\,\!$

$c=13\,\!$

Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

Equação do 2º grau com 1 incógnita

Aqui mostraremos como se pode deduzir a famosa fórmula para a resolução de equações do segundo grau, também conhecida como fórmula de Bhaskara.

Evolução

$ax^{2}+bx+c=0$, donde

$a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {c}{a}}\right)=0$

• a multiplica os termos:

$a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)=0$

$a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\right)\right]=0$

$a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)\right]=0$

$a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\right)\left(x+{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\right)\right]=0$

• aqui $b^{2}-4ac$ tornou-se $\Delta$.

$a\left[\left(x+{\frac {b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)\left(x+{\frac {b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)\right]=0$

• aqui temos $\left({\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)$ como X₁ e $\left({\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)$ como X₂.

$a\left\{x-x_{1}\right\}\left[x-x_{2}\right]=0$

$a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=0$

• então,

x = x1 $x_{1}=\left({\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)$

x = x2 $x_{2}=\left({\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)$

• por fim, $x_{1}$ e $x_{2}$ (x) é representado pela seguinte fórmula:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

Exercícios

Exercícios de aplicação da Fórmula de Bhaskara.

1. Determine o conjunto solução, nos reais, das equações seguintes, usando a fórmula de Bhaskara
   1. $x^{2}-2\ x+1=0(S=1;1)\,$
   2. $y^{2}-6\ y+8=0(S=2;4)\,$
   3. $x^{2}-7\ x-18=0(S=-2;9)\,$
   4. $-y^{2}+2y+3=0(S=-1;3)\,$
   5. $x^{2}-4\ x+5=0(x\notin \mathbb {R} )\,$
   6. $2\ x^{2}-5\ x+2=0(S=0,5;2)\,$
   7. $9\ x^{2}+6\ x+1=0(x\notin \mathbb {R} )\,$
   8. $-4\ x^{2}-4\ x-1=0(0,5;0,5)\,$
   9. $x^{2}-x-1=0\,$
   10. $3y^{2}+2\ y-1=0(S=2/6;-1)\,$
   11. $x^{2}-4=0\,$
   12. $-x^{2}-x-4=0\,$
   13. $x^{2}-17=0\,$
   14. $y^{2}+y-20=0\,$
   15. $x^{2}+626=0\,$
   16. $x^{2}-15x=0\,$
   17. $x^{2}-3\ {\sqrt {2}}\ x+6=0\,$
   18. $-y^{2}-3\ y+10=0\,$
   19. $-3z^{2}+10\ z-3=0\,$
   20. $z^{2}+8\ z+15=0\,$

Exemplo 2 (2+X)(X+1)=2x+2+x.x+x

                  =x.x+3x+2=0
                  a=1
                  b=3
                  c=2

Aplicando na fórmula teremos:

Delta=b.b-4.a.c

Substituindo os valores na fórmula teremos: Delta=3×3-4×1×2 Delta =9-8 Delta=1

X1=-b+√delta/2.a

Substuindo history para x1.:

X1=-3+√1/2×1 X1=-3+1/2 X1=-2/2 X1=-1

X2=-b-√delta/2×a X2=-3-√1/2×1 X2=-3-1/2 X2=-4/2 X2=-2

Equação frigate agradesso quem a very beijinho de Cristiamo

Problemas do 2º grau

Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram convidados a este jantar?

Solução

x = número de convidados
24.000/x = prêmio recebido por cada um se não houvesse faltas
24.000/(x-5) = prêmio recebido por cada um, como faltaram 5 pessoas
24.000/x+400=24.000/(x-5) ===> cada um dos presentes recebeu mais 400
simplificando a equação:
dividindo os termos por 400
60/x + 1 = 60/(x-5)
mmc: entre x e x-5 = x.(x-5)
60 (x-5) + x.(x-5) = 60.x
60x - 300 + x² - 5x - 60x = 0
x²-5x-300 = 0
aplicando a fórmula de Bhaskara:
x' = 20, x" = -15(raízes negativas não servem)

Resposta: 20 pessoas foram convidadas...

Equação biquadrada

Uma equação biquadrada é um equação do quarto grau que não possuem termos de grau ímpar:

$ax^{4}+bx^{2}+c=0,\quad a\neq 0\,$

A técnica para resolver esta equação consiste em reescrever a equação como uma expressão em y de forma que:

$y=x^{2}\,$

Assim a equação biquadrada transforma-se numa equação do segundo grau em y:

$ay^{2}+by+c=0,\quad a\neq 0\,$

Exercícios

Ver Matemática elementar/Expressões algébricas/Equação biquadrada/Exercícios

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Leitura complementar

• Gilberto G. Garbi. O Romance das Equações Algébricas. 3ª ed. São Paulo: Livraria da Física. 2009. ISBN 8588325764
• Gilberto G. Garbi. A rainha da Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. Livraria da Física, 2006. ISBN 8588325616