Matemática elementar/Equações irracionais

Uma equação irracional é uma equação onde existem polinômios e raízes.

Por exemplo:

{\sqrt {x+1}}+1=x\,

Uma definição mais precisa seria: uma equação algébrica irracional é uma equação onde existem funções racionais e inversas de funções polinomiais.

Solução

Um dos métodos de solução é isolar, em um dos membros da equação, os termos que incluem raízes, e elevar ambos os membros a uma mesma potência que elimine a raiz. No entanto, este procedimento não produz uma equação equivalente a original, mas sim uma equação que possui entre as suas soluções os valores que resolvem a equação inicial.

Por exemplo, quando se tem a igualdade entre uma certa expressão $x$ e outra expressão $y$ , pode-se concluir que $x^{2}=y^{2}.$ Por outro lado, é perfeitamente possível que duas expressões tenham os quadrados iguais, sem que elas próprias sejam iguais. Este é o caso, por exemplo, quando se tem $(-x)^{2}=x^{2}\,$ , pois para a maioria dos números, $-x\not =x$ (a igualdade só vale para $x=0$ ). Assim, se durante a resolução ambos os membros forem elevados a uma certa potência, será necessário checar se os valores obtidos como solução para a nova equação são também soluções da equação inicial.

Acompanhe o próximo exemplo:

{\sqrt {x+1}}+1=x\,

Isolando a raiz, elevando ao quadrado e resolvendo:

{\sqrt {x+1}}=x-1\,

x+1=x^{2}-2x+1\,

-x^{2}+3x=0\,

Esta equação do segundo grau possui duas soluções, a saber: $0$ e $3$ . Isto não significa que ambos estes números sejam soluções da equação original, pois com os cálculos realizados até agora só é possível dizer que "se $x$ for uma solução para a equação original, então $x$ tem que ser igual a $0$ ou igual a $3$ ".