分數

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二进分数
 規矩數
 無理數
 超越數
 虚数 $\mathbb {I}$
二次無理數
 艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元數 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英语：Dual quaternion）
超复数
 超數
 超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 進數
 数学常数

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

取出四份之一蛋糕。圖中顯示剩餘的蛋糕是四份之三。蛋糕上的虛線表示可以把蛋糕進行切割分成相等的部份。每一個蛋糕被表示為分數¼。

分數（fraction）是用分式（分數式）表達成 ${\frac {a}{b}}$ 的数（ $a,b\in Z,b\neq 0$ ）。在上式之中， $b$ 稱為分母（Denominator）而 $a$ 稱為分子（Numerator），可視為某件事物平均分成 $b$ 份中佔 $a$ 分，讀作「 $b$ 分之 $a$ 」。中間的線稱為分線或分数线。有時人們會用 $a/b$ 來表示分數。分母為 $10$ 的次方的分數稱為十進位分數（decimal fraction），可轉換為小數的形式，例如， ${\frac {1}{100}}$ 可记为 $0.01$ ，也可簡記為 $1\%$ 或 $10^{-2}$ 。

分數這個概念和除法、比例很相似，分數是一種值（有理數），除法較重視計算，比例則重視兩件事物之間的比較。

分類

最簡分數（既约分数）（Irreducible Fraction）: 分子是整數，分母是正整數，且分子和分母互質的分數。例如： ${\frac {4}{~{}15~{}}}$
真分數（Proper Fraction）: 除商小於1、大於0的分數，即分子小於分母的分数。當分子一樣大的時候，分母越大則值就越小，當分母一樣的時候，分子越大，數值就越大。例如： ${\frac {3}{~{}7~{}}}$
假分數（Top-heavy/Improper Fraction）: 假分数是指除商不小於1的分數，即分子等於或大於分母的分数，可寫成帶分數。例如： ${\frac {5}{~{}2~{}}}$
帶分數（Mixed Numeral）: 一個整數加一個真分數，例如 $d{\frac {a}{b}}$ ，讀作「d又b分之a」；又例如 $1{\frac {1}{~{}2~{}}}$ ，就是一又二分之一。可寫成假分數，與 ${\frac {~{}(d\times b)+a~{}}{b}}$ 等價。
單位分數：分子為1，分母是整數的分數。也可視為該整數的倒數。例如： ${\frac {1}{~{}99~{}}}$
古埃及分數（Egyptian fraction）: 將分數表達成單位分數之和。例如： ${\frac {19}{~{}20~{}}}={\frac {1}{~{}2~{}}}+{\frac {1}{~{}3~{}}}+{\frac {1}{~{}9~{}}}+{\frac {1}{~{}180~{}}}$
繁分數：分子和/或分母包含了分數，例如 ${\frac {~{}{\frac {a}{~{}b~{}}}~{}}{\frac {c}{~{}d~{}}}}$ 。可以用“外乘外、內乘內”的方法簡化，即前面的式子等如 ${\frac {ad}{~{}bc~{}}}$ 。
連分數：外觀如 $x=a_{0}+{\frac {1}{~{}a_{1}+{\frac {1}{~{}a_{2}+{\frac {1}{~{}a_{3}+\dots }}}}}}$ 的分數，其中a_i是整數。若只有有限個a_i非零，則連分數是一個分數。

小數、百分率可視為分數的另一種寫法。

分數運算

分數如自然數般，跟從互聯律、結合律、分配律和反除以零的規則。

約分、擴分及通分

一個分數約分後或擴分後，其分數與原來之分數的值相等，稱為等值分數。

约分

「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數（它們的公因數）。約分後的分數和原來分數的值相等。

擴分

「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。擴分後的分數和原來分數的值相等。

通分

「通分」是利用約分或擴分，將兩個分母不同的分數，分别化為同分母的分數。

加法及減法

筆算分數的加減法時，必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差，這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等，為了方便地求得所須分母，計算時一般以加數和被加數的最小公倍數作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上，合成和後再作約簡。例如：

{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}=3\times {\frac {1}{12}}+4\times {\frac {1}{12}}=(3+4)\times {\frac {1}{12}}=7\times {\frac {1}{12}}={\frac {7}{12}}

乘法及除法

分數的乘除無視分子母的特性，將分子和分母各自處理便可，但是由於整數除法亦容易引起小數，加上不適合出現於分數形式，而且除法也是乘法的逆函數，故此計算時一般將被除數化成其倒數，把除法改為乘法較為方便。例如：

{\frac {1}{5}}\div {\frac {7}{11}}={\frac {1}{5}}\times {\frac {11}{7}}={\frac {1\times 11}{5\times 7}}={\frac {11}{35}}

外部連結

Fraction, arithmetical. The Online Encyclopaedia of Mathematics.
埃里克·韦斯坦因. Fraction. MathWorld.
Fraction. Encyclopedia Britannica.
Fraction (mathematics). Citizendium.
Fraction. PlanetMath.
Online program for exact conversion between fractions and decimals
Online Fractions Calculator with detailed solution
Fraction Practice endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.

分類

分數運算

約分、擴分及通分

约分

加法及減法

乘法及除法

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