Wykres funkcji gamma Czy istnieją inne funkcje niż funkcja gamma, które interpolują funkcję silnia dla dowolnych liczb rzeczywistych? Funkcja gamma (zwana też funkcją gamma Eulera) – funkcja specjalna , która rozszerza pojęcie silni [1] liczb rzeczywistych i zespolonych .
Jeżeli
x
{\displaystyle x}
liczby zespolonej
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
Γ
(
z
)
=
∫
0
+
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
,
x
>
0
{\displaystyle \Gamma (z)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt,\quad x>0}
– tzw. całka Eulera 2 rodzaju (całka Eulera 1 rodzaju – to funkcja Beta ) Dla dowolnych liczb zespolonych
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
+
∞
n
!
n
z
z
(
z
+
1
)
(
z
+
2
)
…
(
z
+
n
)
=
1
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
)
z
1
+
z
n
.
{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to +\infty }{\frac {n!n^{z}}{z(z+1)(z+2)\dots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}.}
Funkcja gamma może być postrzegana jako rozwiązanie następującego problemu interpolacji:
„Znajdź gładką krzywą, która łączy punkty
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
y
=
(
x
−
1
)
!
,
{\displaystyle y=(x-1)!,}
x
{\displaystyle x}
Wzór
x
!
=
1
⋅
2
…
x
{\displaystyle x!=1\cdot 2\dots x}
x
,
{\displaystyle x,}
x
{\displaystyle x}
Funkcja gamma jest dobrym rozwiązaniem, jednak nie jest to jedyne rozwiązanie: istnieje bowiem nieskończenie wiele ciągłych rozszerzeń funkcji silnia na liczby niecałkowite, gdyż przez zbiór izolowanych punktów (jaki tworzy wykres funkcji silnia) można narysować nieskończenie wiele różnych krzywych.
Funkcja gamma jest najbardziej użytecznym rozwiązaniem w praktyce, ponieważ jest funkcją analityczną (z wyjątkiem niedodatnich liczb całkowitych ) i można ją zdefiniować na kilka równoważnych sposobów.
Nie jest to także jedyna funkcja analityczna, która rozszerza silnię, ponieważ dodanie do niej dowolnej funkcji analitycznej, która zeruje się dla dodatnich liczb całkowitych, takich jak
k sin
(
m
π
x
)
,
{\displaystyle {\text{k sin}}(m\pi x),}
m
{\displaystyle m}
funkcjami pseudogamma . Najbardziej znaną jest funkcja Hadamarda (inne języki) .
Dwa dobre uogólnienia analityczne funkcji silnia na zbiór liczb rzeczywistych: funkcja
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
Γ
(
z
)
+
s
i
n
(
π
⋅
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)+sin(\pi \cdot z)}
Tw. Funkcja gamma nie ma miejsc zerowych (por. wykres)
Tw.
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)=1}
Tw.
Γ
(
n
+
1
)
=
n
!
dla
n
∈
N
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!\quad {\text{dla}}\quad n\in N}
,
gdzie
N
{\displaystyle N}
liczb naturalnych ,
tzn. funkcja gamma ma wartości identyczne jak silnia dla liczb naturalnych.
Tw. Dla
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
Γ
(
n
+
1
2
)
=
(
2
n
−
1
)
!
!
2
n
π
{\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}}
Γ
(
n
+
1
/
p
)
=
Γ
(
1
/
p
)
(
p
n
−
(
p
−
1
)
)
!
(
p
)
p
n
{\displaystyle \Gamma (n+1/p)=\Gamma (1/p){\frac {(pn-(p-1))!^{(p)}}{p^{n}}}}
gdzie
x
!
(
p
)
{\displaystyle x!^{(p)}}
silnię wielokrotną p-tą.
Tw.
Γ
(
z
+
1
)
=
z
⋅
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z)}
Dowód – metodą całkowania przez części .
Tw.
Γ
(
z
)
⋅
Γ
(
z
+
1
2
)
=
π
2
2
⋅
z
−
1
⋅
Γ
(
2
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\cdot \Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2\cdot z\ -1}}}\cdot \Gamma (2z)}
Tw. Jeżeli mianownik jest niezerowy, to:
Γ
(
z
)
⋅
Γ
(
1
−
z
)
=
π
sin
π
z
,
{\displaystyle \Gamma (z)\cdot \Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}},}
Γ
(
z
+
1
2
)
⋅
Γ
(
1
2
−
z
)
=
π
cos
π
z
.
{\displaystyle \Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)={\frac {\pi }{\cos {\pi z}}}.}
Tw. Jeśli
−
1
<
Re
(
z
)
<
1
,
{\displaystyle -1<\operatorname {Re} (z)<1,}
Γ
(
z
)
=
1
sin
π
2
z
∫
0
∞
t
z
−
1
sin
t
d
t
.
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{\sin {{\frac {\pi }{2}}z}}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\sin {t}\,dt.}
Tw. Jeśli
0
<
Re
(
z
)
<
1
,
{\displaystyle 0<\operatorname {Re} (z)<1,}
Γ
(
z
)
=
1
cos
π
2
z
∫
0
∞
t
z
−
1
cos
t
d
t
.
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{\cos {{\frac {\pi }{2}}z}}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\cos {t}\,dt.}
Tw. Wzór iloczynowy Gaussa:
Γ
(
n
z
)
=
n
n
z
(
2
π
)
n
−
1
⋅
Γ
(
z
)
⋅
Γ
(
z
+
1
n
)
⋅
Γ
(
z
+
2
n
)
⋅
…
⋅
Γ
(
z
+
n
−
1
n
)
.
{\displaystyle \Gamma (nz)={\frac {n^{nz}}{\sqrt {(2\pi )^{n-1}}}}\cdot \Gamma (z)\cdot \Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdot \Gamma \left(z+{\frac {2}{n}}\right)\cdot \ldots \cdot \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right).}
Tabela wartości funkcji gamma
x
{\displaystyle x}
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
−2,500
≈
−
0,945
309
{\displaystyle \approx -0{,}945309}
−2
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
−1,500
4
π
3
≈
2,363
271801
{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}\approx 2{,}363271801}
−1
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
−0,500
−
2
π
≈
−
3,544
907702
{\displaystyle -2{\sqrt {\pi }}\approx -3{,}544907702}
0
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
0,143
≈
6,548
062940
{\displaystyle \approx 6{,}548062940}
0,167
≈
5,566
316002
{\displaystyle \approx 5{,}566316002}
0,200
≈
4,590
843712
{\displaystyle \approx 4{,}590843712}
0,250
≈
3,625
609908
{\displaystyle \approx 3{,}625609908}
0,333
≈
2,678
938535
{\displaystyle \approx 2{,}678938535}
0,500
π
≈
1,772
453851
{\displaystyle {\sqrt {\pi }}\approx 1{,}772453851}
1
0! = 1
x
m
i
n
{\displaystyle x_{min}}
0,885
603194
{\displaystyle 0{,}885603194}
1,500
π
2
≈
0,886
226925
{\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\approx 0{,}886226925}
2
1! = 1
2,500
3
π
4
≈
1,329
340388
{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}\approx 1{,}329340388}
3
2! = 2
3,500
15
π
8
≈
3,323
350970
{\displaystyle {\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}\approx 3{,}323350970}
4
3! = 6
Dla
x
m
i
n
≈
1,461
632145
{\displaystyle x_{min}\approx 1{,}461632145}
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
minimum lokalne - jest to jedyne minimum dla liczb
z
{\displaystyle z}
x
=
R
e
z
>
0
{\displaystyle x=Re\,z>0}
x
>
x
m
i
n
{\displaystyle x>x_{min}}
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
Funkcja
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
z
=
0
,
−
1
,
−
2
,
…
{\displaystyle z=0,-1,-2,\dots }
residuum
(
−
1
)
z
/
z
!
.
{\displaystyle (-1)^{z}/z!.}
Wykres funkcji rzeczywistej
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
funkcji zespolonej , mającej zarówno zespoloną dziedzinę, jak i zespolony zbiór wartości, wymagałby 4 wymiarów. Jednym ze sposobów rozwiązania tego problemu jest metoda wizualizacji za pomocą powierzchni Riemanna ; inną metodą jest technika kolorowanie dziedziny .
Wykres funkcji zespolonej
Γ
(
z
)
:
{\displaystyle \Gamma (z){:}}
oś x – części rzeczywiste liczb zespolonych postaci
z
=
x
+
i
y
,
{\displaystyle z=x+iy,}
oś y – części urojone tych liczb, oś z –
|
Γ
(
z
)
|
,
{\displaystyle |\Gamma (z)|,}
moduł funkcji gamma ; kolor – zależy od
a
r
g
Γ
(
z
)
,
{\displaystyle arg\,\Gamma (z),}
argumentu funkcji gamma .
1
Γ
(
z
)
=
z
e
γ
z
∏
n
=
1
∞
[
(
1
+
z
n
)
e
−
z
n
]
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\right]}
gdzie γ to stała Eulera-Mascheroniego .
Odwrotność funkcji gamma jest określona na całej płaszczyźnie zespolonej , gdyż funkcja
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
funkcją całkowitą .
Wykres logarytmicznej pochodnej funkcji gamma Df. Logarytmiczną pochodną funkcji gamma albo funkcją di-gamma nazywa się funkcję postaci
ψ
(
z
)
=
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
,
{\displaystyle \psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}},}
gdzie
z
≠
0
,
−
1
,
−
2
,
…
{\displaystyle z\neq 0,-1,-2,\dots }
Tw.
ψ
(
z
)
=
−
γ
+
∑
n
=
0
∞
(
1
n
+
1
−
1
n
+
z
)
,
{\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right),}
gdzie
γ
{\displaystyle \gamma }
stała Eulera-Mascheroniego
Tw.
ψ
′
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
1
(
z
+
k
)
2
.
{\displaystyle \psi '(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\left(z+k\right)^{2}}}.}
Tw. Dla
x
>>
1
{\displaystyle x>>1}
ψ
(
x
)
≈
ln
x
−
1
2
x
.
{\displaystyle \psi (x)\approx \ln x-{\frac {1}{2x}}.}
Df. Funkcją poligamma n -tego rzędu nazywamy
n
+
1
{\displaystyle n+1}
ln
Γ
(
z
)
,
{\displaystyle \ln \Gamma (z),}
ψ
(
n
)
(
z
)
=
d
n
ψ
(
z
)
d
z
n
=
(
d
d
z
)
n
+
1
ln
Γ
(
z
)
,
{\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n}\psi (z)}{dz^{n}}}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{n+1}\ln \Gamma (z),}
Wtedy:
ψ
(
z
)
=
ψ
(
0
)
(
z
)
.
{\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z).}
Df. Funkcją tri-gamma (lub trój-gamma) nazywa się funkcją
ψ
(
1
)
.
{\displaystyle \psi ^{(1)}.}
Funkcja gamma ma ogromnie liczne zastosowania (sekcja wymaga rozwinięcia )
Na funkcji gamma opiera się symbol Pochhammera [2]
Wzór na objętość n-wymiarowej hipersfery :
S
n
=
(
2
∗
π
n
/
2
)
/
(
Γ
(
1
/
2
n
)
)
{\displaystyle S_{n}=(2*\pi ^{n/2})/(\Gamma (1/2n))}
[3] I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka , Wydawnictwo Naukowe PWN , Warszawa 2010, s. 192–193. Kalkulator online:
