Fungsi gamma

Dina matematik, fungsi gamma nyaéta fungsi nu leuwih lega tina konsép faktorial kana wilangan kompleks.

Harti

Lambang Γ(z) dumasar ka Adrien-Marie Legendre. Lamun bagéan réal tina wilangan kompleks z positip, mangka integral

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

pasti konvergen. ngagunakeun integral parsial, bisa ditembongkeun yén

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\,.$

Sabab Γ(1) = 1, dina kaitan ieu ngakibatkeun yen

$\Gamma (n+1)=n!\,$

keur sakabéh wilangan natural n. Ieu bisa dipaké keur ngalegaan Γ(z) jadi fungsi meromorpik dihartikeun keur sakabar wilangan kompleks z ial z = 0,  −1, −2, −3, ... ku analisa kontinyu. Hal nu leuwih lega ilaharna dumasar salaku fungsi gamma. Notasi alternatip nu kadangkala dipaké nyaéta fungsi Pi, nu dina watesan fungsi gamma nyaéta

$\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).$

Kadangkala ogé manggihkeun

$\pi (z)={1 \over \Pi (z)}\,$

nu mangrupa hiji fungsi sakabehna, dihartikeun keur sakabéh wilangan kompleks. yén π(z) mangrupa sakabéh nu diperlukeun anu teu mibanda kutub, mangka Γ(z) teu mibanda nol.

Bisa ogé nilai keur fungsi gamma dina non-integer nyaéta

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.$

Fungsi gamma mibanda hiji kutub orde 1 dina z = −n keuw sakabéh wilangan alami n; sesana dibérékeun ku

$\operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.$

Bentuk kakali fungsi gamma saterusna nyaéta valid keur sakabéh wilangan kompleks z nu lain integer non-positip:

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}$

nu mana γ mangrupa konstanta Euler-Mascheroni.

TeoremaBohr-Mollerup nangtukeun yén antara sakabéh fungsi dilegaan ku fungsi faktorial kana wilangan riil positip, ngan lamun fungsi gamma mangrupa log-convex.

Kaitan jeung fungsi sejen

Dina integral di luhur, nu ngahartikeun fungsi gamma, watesan integralna geus ditangtukeun. Fungsi gama nu teu lengkep mangrupa fungsi nu ditangtukeun ku nuturkeun wates luhur atawa handap tina integral jadi variabel. Turunan logaritma fungsi gamma disebutna fungsi digamma.

Tempo ogé

• Fungsi beta.
• Stirling's approximation

Rujukan

• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6.)
• G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
• W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)

Tumbu kaluar

• Gamma function at MathWorld.